2808185042

Tw. Bolzano-Cauchy' ego

Jeśli f:[a,b] jest ciągła oraz f(a)*f(b)<0 to istnieje c e (a,b) taM że f(c)=0.

Dowód;

Załóżmy że f(a)<0, f(b)>0.

Dzielimy przedział [a,b] na dwie połowy.

Jeśli f((a+b)/2)=0 to c=(a+b)/2.

Jeśli f((a+b)/2)^0 oznaczamy przez [ai,bi] tę połowę na końcach której f zmienia znak Itd.

Albo po skończonej ilości kroków trafimy na miejsce zerowe, albo otrzymamy ciągi

1.    (an), (bn) o następujących własnościach:

2.    (an) jest słabo rosnący i ograniczony

3.    (b_n) jest słabo malejący i ograniczony

4.    f(a„)<0, f(b_n)>0

5.    bn-ao=0,5n(b-a)

Tw. Banacha (dla funkcji f:R-> R)

Jeśli f: R-^R jest zwężająca to ma dokładnie jeden punkt stały c. Ponadto dla dowolnego xoe R ciąg (xn) określony wzorem Xn=f(xo.i), ne N jest zbieżny do c. f jest zwężająca jeśli:    f ~ f    |^x ~y\

c jest punktem stałym jeśli f(c)=c.

Dowód

Pokażemy że (x„) spełnia warunek Cauctr/ego

„A K - *wi| = | f (*_n+l) - f (*n)| -f(*n) ^ «8l^Xn₊l “ ^ | ^    O"!*

Zatem

_nAK-x_fl|<|x_m-x_in+i|H-...+|x_n_i-x_fl|<Qr^,n|x₀-x₁|+a"⁺¹|x₀-x₁|+...+a1x₀-x₁| = (a”+ff”⁺¹+...+aⁿ)|x₀-x

Więc ciąg (Xn) spełnia war. Cauchy¹ ego. Ponieważ (R,| |) jest zupełna więc istnieje granica lim x_n = c

n—

Wówczas 0<| f(c) —c| <| f (c) — f(x„)| +| f (x_n) — cj < c\c—x_n|    —c| —_n__¥m >0 to oznacza że

f(c)=c.

Jedyność: załóżmy że f(a)=a wówczas |a-c|=|f(a)-f(c)|<a*|a-c| stąd wynika że a=c bo 0<(X<1 Zastosowanie do przybliżonego rozwiązywania równań

1.    Metoda połowienia (w oparciu o tw. Banacha-Cauchy'ego:

Przyk. Wyznaczyć rozwiązanie równania x³+x-3=0 w przedziale <1,2> z dokładnością do 0,1. f(x)=x^a+x-3 jest ciągła; f(l)= -KO; f(2)= 7>0 4 istnieje rozwiązanie równania f(x)=0

Xi=(l+2)/2=l,5

f(l,5)>0

X2=(l+1,5)/2=1,25

f(l,25)>0

x₃=(1+1,25)/2=1,125 X4=(l,25+1,25)/2=l,1875

2.    Metoda iteracyjna (zastosow. Tw. Banacha)

Przykł Wyznaczyć rozw. równ. 4x-sinx-2=0 z dokł do 0,1

14(sinx+2)=x

f(x)=14(sinx+2)