24397

Twierdzenie 3 Jeśli (R, 0, O) jest pierścieniem z jednością to (/?",©) jest grupą.

Pierścień (/?,©,©) przemienny z jednością nazywamy ciałem jeśli R ma co najmniej dwa elementy i /?* = /?— {0>, tzn. każdy niezerowy element jest odwracalny.

Przykłady

1.    (2.+,-) nie jest ciałem, bo Z* = {1,-1},

2.    (R, +, •) jest ciałem,

3.    (Z2, +2. '2) jest ciałem,

4.    (Z. 1, +4, *4) nie jest ciałem, bo Z.J = {1,3} ^ Z4 — {0}.

Twierdzenie 4 W ciele nie ma dzielników zera.

Dowód Jeśli R jest ciałem i a. b £ R są elementami, takimi że a ^ 0 i

aft = 0

to istnieje a^_l. Mnożąc równanie obustronnie przez a~^l otrzymujemy:

a^-1 aft = 0

Stąd ft = ().■

Niech p6 Z. mówimy, że p jest liczbą pierwszą jeśli p jest podzielna tylko przez 1 i przez siebie.

Twierdzenie 5 Jeśli n nic jest liczbą pierwszą to Z„ nie jest ciałem.

Dowód Jeśli n nic jest liczbą pierwszą to istnieją k ^ 1,1    1. takie że

n = kl. Wtedy k jest dzielnikiem zera w pierścieniu Z„M

Twierdzenie 6 Pierścień (Z_n.+_n. -_n) jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy n jest liczbą pierwszą.

2