Obraz
4 (157)

Twierdzenie: Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale [a, b], to istnieje

b

J / (x)dx

zapewnia nas, że przy podanym założeniu nasza konstrukcja jest wykonalna. Równocześnie to twierdzenie upoważnia nas w każdym przypadku, w którym f(x) jest ciągła w [a, b], do traktowania symbolu

b

J f(x)dx

a

jako symbolu zupełnie określonego przedmiotu i do wykonywania pewnych czynności z nim związanych zgodnie z innymi twierdzeniami. Na przykład w tym przypadku, jeżeli c jest liczbą, to zamiast

b

J cf(x)dx

a

możemy zawsze napisać

c j f(x)dx

wiemy bowiem, że konstruując funkcję c f(x), a następnie według opisanego planu wyznaczając

b

otrzymamy tę samą liczbę, którą otrzymalibyśmy wyznaczając

J f{x)dx

i mnożąc otrzymaną liczbę przez c.

1.2. W definicji całki podano bezpośrednio ciąg czynności, których wykonanie prowadzi do konstrukcji tego przedmiotu. Niejednokrotnie definicja matematyczna ma inną postać; operacje nie są ujawnione od razu w sformułowaniu. Trzeba czasem czytany tekst rozwikłać ze względu na te operacje. Dzieje się to np. wtedy, gdy na jakimś szczególnym modelu usi-

łujemy wniknąć w treść definicji. Oto przykłady zaczerpnięte z praktyki szkolnej:

a)    Obserwujemy uczennicę klasy X czytającą definicję: ,jednokładno-ścią względem środka O w skali k * 0 nazywamy przekształcenie płaszczyzny, które punktowi X przyporządkowuje punkt X' tak, że OX' = k OX”. Uczennica stwierdza: „nic z tego nie rozumiem”. Nauczyciel zachęca: „przeczytaj jeszcze raz i od razu ilustruj na rysunku to, co czytasz; wybierz punkt O, przyjmij np. k-2 oraz punkt X i skonstruuj X' zgodnie z tą definicją”. Uczennica czyta uważnie tekst, jednocześnie rysując. „To bardzo proste” - mówi - „nie wiem, czego tu nie rozumiałam”. Definicja interpretowana w toku lektury krok za krokiem w języku operacji równocześnie konkretnie realizowanych w modelu rysunkowym, stała się jasna. Uczennica myśli i mówi: „aby wyznaczyć obraz punktu X w jednokładności względem środka O i w skali k, biorę pod uwagę wektor OX. Ten wektor mnożę przez k i otrzymuję wektor OX'. Punkt X' jest szukanym punktem”.

b)    Uczeń czyta definicję: „księżycem Hipokratesa nazywamy figurę postaci k(0/, r{) - w (0₂, r₂), gdzie o(O_t, r_h) i o(0₂, r₂)‘ są dwoma okręgami przecinającymi się dokładnie w dwóch punktach”. Aby zrozumieć tę definicję, uczeń konstruuje rysunkowy obraz księżyca Hipokratesa. Rysuje dwa koła, których brzegi przecinają się: zacieniowuje obszar przedstawiający wnętrze jednego z tych kół, czym symbolizuje odrzucenie punktów tego wnętrza z koła drugiego, koloruje rysunek pozostałej z drugiego koła figury, aby graficznie zilustrować skonstruowany przedmiot i uchwycić jego kształt.

c)    Uczniowie czytają definicję: „przy założeniu, że n jest liczbą naturalną: 1! = 1 i (n+1 )!=n!(n + 1)”. Nie rozumieją jej od razu. Nauczyciel nic nie wyjaśnia sam, proponuje natomiast: „spróbujcie obliczyć liczbę oznaczoną symbolem 2/”. Po krótkiej refleksji pada odpowiedź: „aha! trzeba napisać: 2/= 1! 2=2, i dalej już. szybko: 3!=2! 3=6, 4!=3! 4=6 4=24 itd. „Co nam daje druga informacja?” - pyta nauczyciel. „Sposób wyznaczenia (n + 1)1, gdy znamy n!” mówią uczniowie. Jeden z uczniów zauważa: „przecież to można od razu wyznaczyć” i pisze: n! = 12... n.

Uczniowie od definicji jawnie rekurencyjnej przeszli do wzoru, który nie wymaga już pozornie stosowania rekurencji (jest ona ukryta —

1 ¹ o(A, a) - okrąg o środku A i promieniu a, k(A, a) - kolo o środku A i promieniu a, w(A, a) -

215