188 2

374 XIX. Całki oznaczone

(19.3.8) Jeżeli g\x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale <a, Z>>, a f(_u> funkcją ciągłą w przedziale <g(a), g{b)>, to zachodzi następujący wzór:

b    g(b)

$f{g(xj)g'(x)dx= \f(u)du.

a    g(a)

Jest to wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych.

ł*

Przykład 1. Obliczyć J x sin x dx.

o

Rozwiązanie. Stosując wzór na całkowanie przez części otrzymujemy

J xsinxd;c= - j x£/(cosx) = [-xcosy]J^,'+ | cosx^x=[sinx]J¹' = 1. oo    o

ł*

Przykład 2. Obliczyć J sin² * cos xdx. o

Rozwiązanie. Stosując wzór na całkowanie przez podstawienie i przyjmując sin x=u otrzymujemy

ł*    i

| sin²xcos;crf;c= J «²dM = [łw³]o=5. o    o

Uwaga. Przykłady 1 i 2 można rozwiązać obliczając najpierw całki nieoznaczone, a następnie korzystając ze związku pomiędzy całką oznaczoną a nieoznaczoną.

Zadanie 19.1. Obliczyć pole (rys. 19.2) ograniczone odcinkiem osi Ox od a = -1 do x=l, rzędnymi w tych punktach oraz łukiem linii

y=

x² + l

(por. zad. 10.12, str. 194).

Rozwiązanie. Zauważmy, że przy dowolnym x mamy    wiemy że

dx

I

x² + l

= arctg x,

a więc poszukiwane pole wyraża się wzorem i

/% dx

j ^^ = arctg( + l)-arctg(-l) = i7t-(-i_7t)₌₌i_Jt

Zadanie 19.2. Obliczyć pole ograniczone lukiem paraboli y²=2x oraz prostą x = 8 (rys. 19.3).

Rozwiązanie. Ze względu na symetrię paraboli y² = 2x względem osi Ox wystarczy obliczyć pole ograniczone osią 0x, prostą x-8 i lukiem paraboli w pierwszej ćwiartce i otrzymany wynik podwoić.

Obliczamy całkę oznaczoną

P= ]jTxdx=j2 J^=V2[^^ł]§=§V2-8^ł=§V2(V8)³=^ •

o    o

Poszukiwane pole wynosi ,

Zadanie 19.3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego lukiem krzywej y=x³+xⁱ—2x, odcinkiem osi Ox oraz rzędnymi w punktach x= —2, x=2 (rys. 19.4).

Rozwiązanie. Stosujemy wzór

P= J \x³+x²-2x\ dx.

Aby obliczyć wartość całki, musimy znać znaki wartości funkcji y=x³+x²—2x. W tym celu znajdziemy pierwiastki równania

x³+x²—2x=0, czyli    x(x²+x-2) = 0.

Stąd mamy pierwiastki

x=— 2,    ct=0, x=l.

Przedział <-2, +2> rozbijamy na takie podprzedziały <-2, 0>, <0,1>, <1,2>, żeby * każdym z tych podprzedziałów funkcja y=x² + x²—2x miała stały znak: w pierwszym