189

376 XIX. Całki oznaczone

i trzecim podprzedziale dodatni, w drugim ujemny. Mamy więc

P= | (x¹ +x²-2x)dx- | (x¹ +x²-2x)dx + J (x¹ +x²~2x)dx. -2 0 1

Obliczamy pola w poszczególnych podprzedziałach:

o

JU¹+^-2x)dx = [X+^¹-^]°-2 = 0-[^-|-4]=l,

-2

- J (x¹+x^{3 2}-2x)dx= -[jx⁴+ijc¹-x²]i=

0

J(x¹+x¹-2x)dx=[K₊ix¹-^]‘ = [^₊|-4]-[I+l-l]=f2.

Całe pole wynosi P=§+n⁺TT⁼'6' •

Zadanie 19.4. Obliczyć całkę oznaczoną

i

i (°0^:

-Jt

dx

+2xcosa+x

gdzie —jr<a<7t.

Rozwiązanie. Badamy wyróżnik mianownika

d = 4cos²a-4 = 4(cos²a —1) = — 4sin²a.

Widzimy więc, że zl = 0 dla a=kn, a przy pozostałych wartościach kąta a jest A <0. Przypadek 1: <x = kn. Oznaczając krótko naszą całkę przez I mamy

/ =

dx

1 +2x+x²

Przypadek 2: — 7t<a<0 lub 0<a<7r. Funkcja podcałkowa jest wówczas stale dodatnia.

Bierzemy pod uwagę najpierw całkę nieoznaczoną

f _ 1	r d* |	r dx
) 1+2xcosa+a:^2 J	1 (x+cosa)^2+l—cos^2a J	1 (jc+cosa)^2+sin^2a

f dx    r sinadt sina f dt

J 1 +2x-cosa + x² J t²sin²a+sin²a sin²aj t² + l

Podstawiamy x+cos a = t sin a, skąd dx=sin a dt. Mamy dx

[1    Ar+cosa^-]¹ 1 ( 1+cosa    cosa\

Obliczamy teraz całkę oznaczoną i i

dx

1 +2* cos

-— arctg —_;-    = -— arctg —_:--arctg - .

sin a    sin a J₀ sin a \    sin a    sm a )

1+cosa    cos a

Biorąc pod uwagę wzory ——— = ctg^a i ——= ctga otrzymujemy

sina

sina

dx    1

l+2xcosa+x sina

--₂ = -— (arctg (ctg ja) - arctg (ctga)),

gdzie - Jt<a<0 lub 0<a<rt.

Na mocy definicji funkcja arctg x przyjmuje wartości z przedziału — £tc< arctg* <-£7t. Jeżeli liczba fi spełnia warunek —\n<fi<\^/K, to dla tej wartości mamy równość arctg (tg fi)=fi. Jeżeli natomiast fi nie leży między - i to wzór powyższy nie jest prawdziwy.

Postawmy sobie zadanie: dobrać takie liczby fi i y, żeby było

-\n<fi<~n i tgjS=ctg±a, -±n<y<\n i tgy=ctga .

Wówczas poszukiwana całka przyjmie postać

i

I

dx

fi-y

l+2xcosa+;c sina

Jeżeli 0<a<rc, to bierzemy fi=\n-^a, y=tyr—a i otrzymujemy wzór

i

I

dx

l+2xcosa+x² 2sina

Jeżeli zaś -7t<a<0, to należy wziąć fi= -\n-\ot, y- -    —a i wzór ostateczny pozo-

^s,aje taki sam.

Ostatecznie więc mamy

/(«) = ;

2 sin a

Widzimy stąd, że tak określona funkcja

dla a^O oraz 7(0)=i.

/(a)

x

-li

dx

+2*cosa+*

Jest

ciągła także w punkcie a = 0, ponieważ lim

-o 2 sin a

=4-

1

sina    sina    sina

2

--arctg t=—— arctg ---

3

   1    x+cosa