82307

Oznaczmy prawą stronę tej nierówności przez y*. Mamy więc nierówności

** < Vk < e

prawdziwe dla każdego k w istocie prawa nierówność jest też ostra ze względu na silną inonotoniczność ciągu y*. Z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy równość (1).

Teraz udowodnimy oszacowanie (2). Dla dowolnych n, m € N mamy

1

(n + 1)!

1 +

1

+

J/n+m    1In —

1

n + 2 (n + 2)(n + 3)

+ ...+

1

1

1 +

1

1

(n+1)! I n + 2    (n+2)²

1 1 1

⁺ '"⁺ (n + 2)™"¹]

_ _₌_ n + 2

(„ + ¹)!' 1__1_ (n + 1)! n + 1

Przechodząc z m do +oc dostaniemy

1

.    n+2 _ J_ n+2    1

^ (n + 1)! n + 1 n! (n + l)² ^ n!n

bo

(n+1)² n ‘

Równość (1) z lematu 2.6 będziemy j>o wprowadzeniu pojęcia szeregu liczbowego i sumy szeregu liczłx)wego zapisywali w następujący sposób

OC i

n=0

Oszacowanie (2) pozwala obliczać liczbę e z dowolną ustaloną dokładnością, jak również udowodnić następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.5 Liczba e jest niewymierna.

Dow^ród: Przypuśćmy, że liczba e jest wymierna i e = £ , gdzie p, q £ N . Zastosujmy oszacowanie (2) dla n — q.

p    /„    1    1    1 \    1

q    V    2!    3!    q\)    q\q

Możemy napisać

2!    3!

q\q

gdzie 0 < 9 < 1.

Mnożąc obydwie strony tej równości przez q\q dostaniemy

Po lewej stronie jest liczba z przedziału (0.1), a po prawej liczba całkowita sprzeczność. Liczba e musi więc być niewymierna.

9

9