DSCN1100

_^a\ + a₂ + ... + a_k + a_k + _x + ... + a_2k 2 k

Ponieważ nierówność jest prawdziwa dla n = 2, więc na podstawie udowodnionej implikacji jest prawdziwa dla n = 2,4,8,16, 32,...

Teraz wykażemy, że

(•*) jeśli nierówność jest prawdziwa dla n = k, to jest także prawdziwa dla n = k — 1, (k = 3, 4, 5,...).

Niech Oj. a₂, ... a_k-\ dowolnymi liczbami nieujemnymi. Wówczas na podstawie założenia, że nierówność jest prawdziwa dla n = k, mamy

^k[    (a_x + a₂ + ... + a*

a* + flj + ... + flt _

k - 1

a | 4* a₂ + ... + a_k _ j ⁼    k - 1    '

_D    Aj + ... + A* _

k — 1

Przyjmując a = a, •... • a* _ ,, b = ——

widzimy, że    < 6

czyli oh ^ h* i a < h* ¹ co daje *    ^ h.

Udowodniliśmy w ten sposób, że

^ * >/^al —^ak-l •

k- 1

Niech /i będzie liczbą naturalną nie mniejszą niż 2. Wówczas istnieje seN+ takie, że a)n = 2* lub b) 2*~^l < n < 2*. Jeśli zachodzi a), to nierówność jest prawdziwa (na podstawie (*)). Jeśli natomiast zachodzi b), to korzystając z (*) i z (**) wnioskujemy, że nierówność i w tym przypadku jest prawdziwa. Zatem jest ona prawdziwa dla każdego n ^ 2.

1.12. Rozwiązanie 1). Niech 5 = (1 — a) (1 — b) (1 — c).

Na podstawie założenia, że a + b + c = 1, mamy S — {b + c) {a -t- c) (a + b).

Teraz, korzystając ze znanej nierówności x + y ^ 2y/xy (dla x, yeR₊\ wnioskujemy, że S ^ ly/bć-l^/w-ly/ab,

czyli _

S — 8y/a² b² c², skąd S ^ 8abc.

Rozwiązanie 2).Wskazówka.Wymnożyćw 1)dwumiany po lewej stronie 1 — a —b —c + ab + bc + ac — abc ^ 8 abc, skąd ab + bc + ac^ 9abc.

Rozwiązanie drugie. Uwaga. Zadanie można rozwiązać inaczej, a mianowicie:

Daną równość a + b + c = 1 dzielimy kolejno stronami przez a, b, c i wtedy otrzymujemy

bel

1 H---1— — ^—

a a a

»i

ab 1 1 + - + - = ccc

stąd

b c c ⁺ b

111.,

— + r H— = 3 + abc

a dalej już łatwo.

1.13. Po wymnożeniu dwumianów i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy nierówność

ab + bc + ca — a² — b² — c² ś 0 czyli a² -ł- b² + c² ^ ab + bc + ca

Nierówność tę dowodzimy następująco a² + b² ^ 2ab

b² + c²^ 2bc > => 2(a² + b² + c²) ^ 2 (ab + bc + ca)

c² + a² ^ 2ac J    ^

a² + b² + c² ^ ab + bc + ca

co było do wykazania.

57