DSC07021 (5)

Ostatnia nierówność jest spełniona dla liczb naturalnych n £ 2. Ponieważ badany ciąg

ma wyrazy dodatnie oraz dla n ^ 2 jego wyrazy spełniają nierówność < 1« ^

o

4n

jest on malejący od numeru no — ^z-ć) Mamy

vn* T 4n + n

c_n = \/n* 14n — n =,

Cn+ł

\/^{I +} ^TT

r- 1

Pokażemy bezpośrednio, że c„+i > c_n dla n € N. Rzeczywiście, wychodząc od oczywistej relacji n + 1 > n. otrzymamy kolejno równoważne nierówności

IliPS

Stad mamy

<wi =

+ ¹ \A+ - + ¹

V n-f-1 . . V n

= Crt.

czyli jak żądano. Oznacza to, że ciąg (c_n) jest rosnący.

d) Pokażemy, że ciąg (d») jest rosnący. W dowodzie wykorzystamy fakt, że funkcja f(x) = cosx jest malejąca na przedziale jo, £ J . Dla n € N liczby postaci ^ należą do przedziału

[o. ij . Ponieważ    fj • ^wi<^ * monotonlczności funkcji / na przedziale Jo, jj|"

wynika nierówność

^=O0“^ ^<co*2(^Tiy

— d«+i.

czyli ciąg (d«) jest rosnący. ©•) Mamy

c_n =

Zauważmy, że dla n € N zachodzi nierówność

■Ll. (ir->(!)l_

Aby uzasadnić rnoootoniczność ciągu (c_n) skorzystamy z oczywistej nierówności ę/o > dla ustalonego a > 1 oraz monotoniczności funkcji i/x dla ustalonego A- € N. Dla dowolnej liczby naturalnej n mamy zatem

Oznacza to. że ciąg («*) jest malejący.

n+1

+ 1.

= «n-

€ N, więc, nby zbadać monotonlczność ciągu (/«•) wy»Uieły Mamy

f) Ponieważ fn > 0 dla n

porównać iloraz - * 1.

/•»

Przykłady

31

fn+i _ (n + 1)1f2(n + 1)|!    (3n)1

/r.    " I3(n 4- l)J! nl(2a)l

_ [n!(n + 1)1 l(2n 4 2)(2n 4 l)(2n)l|    (3n)!

(3n 4 3)(3n 4 2)(3n + l)(3n)1    ' n!(2n)t

3(n 4 l)(2n 4- 1) " 3(3n 4- 2)(3n 4-1)

Zatem ciąg (/«) jest malejący.

g*) Zauważmy, że g_n > 0 dla n ^ l. Jeżeli pokażemy, ir dla n $ 2 iloraz ^ i*²* mniejszy od l. to badany ciąg będzie malejący. Mamy

n+1    1    n+1    1

A n + 1    1    _ n³ +n³ - n - I

n ’ la._2_I n³ 4 n² - n

^l+n^a-l

Nierówność (•) wynika z nierówności BemouUiegp”

(l +*)" ^ 1 + nx, gdzie a: ^ -1 oraz n e N,

w której przyjęliśmy * =

u² — 1!_

h) Zbadamy znak różnicy /»»,♦ i — /ii. Mamy

. Zatem badany ciąg Jest malejący.

Ł4H

2n + 4 2n + 5

+ ... + ;r- +

¹ =d tt

3n 3n + 1 3n 4 2

_ l—\

3r» + 3/

(2ń+ 1 ⁺ 2n + 2 ⁺ 2n + 3 ⁺ "' ⁺ 3n)

⁼ (371+ i ⁺ 3n + 2 ⁺ 3n + 3) “ (sT+T ⁺ 2^+2)

> O. _

9n^a + 1 In + I

6(n + l)(2n + l)(3n + l)(3n I- 2)

bra liniowa 1.

'Nierówność Bemoulliego jest udowo* I Definicje, twierdzenia, wzory".

Ponieważ dla każdej liczby naturalnej n różnica /i«+i - h_n jest dodatnia, więc ciąg (b*») jest rosnący.    | 9    9- 1 Gj Q U

wodni on a w podięczniRu *Axgf I