0256

257

§ 2. Funkcje wypukłe i wklęsłe

jest spełniona dla wszystkich liczb dodatnich q_x i q₂ dających w sumie jedność: q,+q₂ = 1. Funkcja nazywa się wklęsła (wypukła do góry), jeśli zamiast (1) spełniona jest nierówność

(la)    f(q_ix₁ + q₂x₂)^q_if(x_i) + q₂f(x₂)(^{1 2}).

Jeśli funkcja f(x) jest wypukła (wklęsła), to funkcja —f(x) jest oczywiście wklęsła (wypukła), i na odwrót. Ta prosta uwaga pozwala nam w wielu wypadkach ograniczyć się do badania tylko funkcji wypukłych.

Przytoczona definicja funkcji wypukłej ma prosty sens geometryczny. Zwróćmy przede wszystkim uwagę na to, że wyrażenie

(2)

x = q₁x_l + q₂x₂ (x₁<x₂)

przy nałożonych na q_t i q₂ warunkach jest zawarte między x_i i x₂. Na odwrót, każda liczba x zawarta między x_x i x₂ może być jednoznacznie przedstawiona we wskazanej postaci ze współczynnikami

(2a)

x₂— X

X — Xi

4i^:

x₂-x₂

Jeśli rozpatrzymy wykres funkcji f(x) (rys. 71) i jego łuk między punktami

Mxi,y₂) i A₂(x₂,y₂),

gdzie yi=f(xi), y₂=f(x₂), to po lewej stronie nierówności (1) ze współczynnikami (2a) będziemy mieli rzędną punktu A łuku A₂A₂ o odciętej x. Natomiast z prawej strony tej nierówności znajduje się rzędna punktu B cięciwy A_LA₂:

(3)

X₂ — X x — x,

y=—-y₂+--

X₂-X₁ X₂~Xy

?2

o tej samej odciętej. Tak więc funkcja wypukła charakteryzuje się tym, te wszystkie punkty dowolnego łuku jej wykresu leżą pod odpowiednią cięciwą albo na samej cięciwie. (W przypadku funkcji wklęsłej zamiast „pod” należy powiedzieć „nad”). Wraz z samą funkcją f(x) również krzywa y=f(x) nazywa się krzywą wypukłą (wklęsłą).

17 G. M. Fichtenholz

1

(‘) Pojęcie funkcji wypukłej (wklęsłej) wprowadził J. L. W. V. Jensen, który wychodził jednak z mniej ogólnej zależności niż (1) (łub (la)), mianowicie

y/*l+*2\ </Ui)+/(*2>

2

2 /(>) 2

Zależność ta odpowiada wartościom Qi=Qt=\. W wypadku funkcji ciągłych, do których się tutaj ograniczamy, definicja ta jest równoważna z definicją podaną w tekście.