0258

259

§ 2. Funkcje wypukłe i wklęsłe

Na mocy podstawowej nierówności (1) otrzymujemy

f(q₁x_i + q₂x₂)^q₁f(x_l) + q₂f(x₂) = q₁y_i+q₂y₂-

Ponieważ na podstawie twierdzenia o funkcji odwrotnej [83] g(y) będzie także funkcją rosnącą, więc

9(<hyi+‘}2y2)>9(f(qiX₁ + q₂ x₂)) = q₁g(y₁) + q₂g(y₂),

co dowodzi, że funkcja g jest wklęsła (patrz (la))(¹).

5° Funkcja f (x) wypukła w przedziale X i różna od stałej nie może osiągać wartości największej wewnątrz tego przedziału.

Przypuśćmy, że jest przeciwnie, niech funkcja osiąga swą wartość największą w punkcie wewnętrznym x₀ tego przedziału. Ponieważ funkcja jest różna od stałej, punkt ten można otoczyć takim przedziałem (x,, x₂):

x_t <x₀<x₂,

że choćby w jednym z końców przedziału wartość funkcji będzie mniejsza niż w punkcie x₀. Niech będzie na przykład

f(x₁)<f(x₀),    /(x₂)</(x₀).

Wybierając q₂ i q₂ tak, by było x₀=q₁x₁ + q₂x₂ pomnożymy obie strony pierwszej nierówności przez q_t, a drugiej — przez q₂ i dodamy je. Otrzymamy

qif(x_i) + q₂f(x₂)<f(x₀}=f(q₁x₁+q₂x₂),

co przeczy założeniu o wypukłości funkcji /. Tym samym twierdzenie zostało udowodnione.

6° Jeśli przedział <x,, x₂>, gdzie x, <x₂ jest zawarty w przedziale 9C, w którym funkcja /(x) jest wypukła, to zależność (1) jest spełniona albo zawsze ze znakiem równości, albo zawsze ze znakiem nierówności.

Wracając do oznaczeń rysunku 71 można to wyrazić geometrycznie w sposób następujący: luk A_tA₂ albo pokrywa się z cięciwą A_tA₂, albo leży całkowicie (z wyjątkiem końców) pod cięciwą.

Rozpatrzmy dla dowodu funkcję liniową (3), która w punktach x_l i x₂ przybiera te same wartości co i funkcja f(x), oznaczmy tę funkcję krótko /(jc). Różnica

<p (x) =/(x) -1 (x) =/(x) + [-1 (x)]

będzie wskutek wypukłości funkcji / i — / również funkcją wypukłą (patrz 2°). Wówczas w przedziale <x₂, x₂> albo jest ę>(x)=0, albo tak nie jest. W pierwszym przypadku w tym przedziale będzie zachodziła tożsamość f(x)=I(x), co oznacza, że łuk pokrywa się z cięciwą i zależność (1) jest spełniona zawsze ze znakiem równości. W drugim przypadku w całym przedziale (x₂, x;₂) musi być <p(x)<0, gdyby bowiem funkcja ę przybierała w tym przedziale także wartości nieujemne, to wartość największą w przedziale <x_t, x₂> mu- ¹

17*

1

Wszystkie twierdzenia sformułowane w tablicy wynikają natychmiast z rysunku.