0260

261

§ 2. Funkcje wypukłe i wklęsłe

Jeśli teraz x-vx_x lub x-*x₂, to przy przejściu do granicy otrzymujemy (*)

(7a)

i

(7b)

/(* i)<-,

x₂ —x_x

f(xl)>- ,

X₂-Xi

stąd /'(xi)</'(x₂), a więc funkcja /'(x) jest rzeczywiście niemalejąca.

Dostateczność. Załóżmy teraz, że spełniony jest ten ostatni warunek. Aby udowodnić nierówność (6) zastosujmy do obydwu jej stron wzór Lagrange’a [112]:

/(*)-/(* i)

x — x_t x₂— X

przy czym x₁<^₁<x<^₂<x₂. Ponieważ zgodnie z założeniemnierówność (6) rzeczywiście zachodzi, a z niej można odtworzyć (4), co jest warunkiem wypukłości

Zatwierdzenie 2. Mec/t funkcja f(x) określona i ciągła wraz ze swą pochodną f'(x) w przedziale SC ma wewnątrz tego przedziału drugą pochodną skończoną /"(x). Na to, by funkcja f (x) była wypukła w SC, potrzeba i wystarcza, żeby wewnątrz SC zachodziła nierówność

(8)    f'\x)> 0.

W związku z poprzednim twierdzeniem wystarczy zastosować do funkcji f\x) twierdzenie 2 z ustępu 132.

Dla wklęsłości funkcji otrzymujemy analogicznie warunek (8*) /"(*)< 0.

Tak więc warunek

(9)    f"(x)> 0    (<0)

na pewno gwarantuje ścisłą wypukłość (wklęsłość), wyłącza bowiem możliwość, by funkcja f(x) była liniowa w jakimkolwiek przedziale [142, 6°].

Teraz jest od razu łatwo podać dowolną liczbę przykładów zarówno funkcji wypukłych jak i wklęsłych.

1)    Funkcja a* (a>0, u^l) jest wypukła w przedziale (—oo, + oo), ponieważ (a*)" = a*(lna)²>0.

2)    Funkcja ln x jest wklęsła w przedziale (0, cc), bowiem (ln x)"= — l/x²<0 (porównaj 142, 4°).

3)    Druga pochodna funkcji x ln x jest w tym samym przedziale dodatnia (l/x>0), a więc funkcja jest wypukła.

(‘) Ze względu na dalszy ciąg wykładu podkreślamy, że przy wyprowadzeniu nierówności (7a) i (7b) wykorzystano tylko istnienie pochodnej odpowiednio w punkcie x_x lub x₂.