0264

265

§ 2. Funkcje wypukłe i wklęsłe

stropy i rośnie z prawej. W pierwszym wypadku f'(x) ma dla x=x₀ maksimum, a w drugim — minimum. Jeśli założymy jeszcze istnienie skończonej drugiej pochodnej /"(x) choćby tylko w punkcie x=x₀, to musi być f"(x₀)=0 (porównaj ustęp 134).

Warunek f"(x₀)=0 odgrywa taką samą rolę w stosunku do punktów przegięcia, jaką odgrywał warunek f'(x_o)=0 przy odszukiwaniu ekstremum funkcji /(x): jest on konieczny, de niedostateczny. Że nie jest wystarczający, łatwo się przekonać na przykładzie. Niech f(x)=x*, wówczas w przedziale ( — oo, +oo) jest f"(x) = 12x²^0, a więc na mocy twierdzenia 2 funkcja /(x) jest wypukła w całym tym przedziale, chociaż f"(x) jest równa zeru w punkcie x=0.

Jeśli druga pochodna f"{x) istnieje wszędzie wewnątrz rozpatrywanego przedziału, to odciętych punktów przegięcia należy szukać wśród pierwiastków tej pochodnej. Każdy jednak pierwiastek x₀ podlega badaniu. Niech w pewnych otoczeniach <x₀ —ó, x₀) i (x₀, *o+ó> na lewo i na prawo od x₀ pochodna f"(x) zachowuje określony znak. Wówczas dla rozpoznania punktów przegięcia można podać następującą regułę: jeśli przy przejściu przez wartość x=x₀ pochodna f'\x) zmienia znak, to mamy tu punkt przegięcia, jeśli natomiast nie zmienia znaku, to przegięcia nie ma (porównaj ustęp 135).

Zauważmy, że przy tym krzywa jest wypukła w ścisłym sensie w jednej części oddzielonej punktem (x₀,/(x₀j) i wklęsła w ścisłym sensie w drugiej.

Rozpatrzmy dla przykładu funkcję /(x) = sin x. Dla niej f"(x) = —sin x przybiera wartość 0 w punktach x=kit (k — liczba całkowita) zmieniając przy tym znak. Tak więc punkty sinusoidy leżące na osi x są punktami przegięcia. Łatwo zauważyć, że w przedziałach ((2m—l)ir, 2mn) sinusoida jest wypukła (wypukła w dół), a w przedziałach (2mit, (2m+l) n) jest ona wklęsła (wypukła w górę).

Można by było, jak to robiliśmy w 138 przy znajdowaniu ekstremum funkcji, wykorzystać rójvnież pochodne wyższych rzędów. Otrzymujemy tą drogą następującą regułę: Jeśli pierwsza z pochodnych rzędu wyższego niż 2 nie znikających w punkcie x₀ jest pochodną rzędu nieparzystego, to mamy przegięcie, jeśli natomiast jest ona pochodną rzędu parzystego, to przegięcia nie ma.

Na zakończenie wskażemy na bardzo ważną własność krzywej y=f(x) dotyczącą położenia krzywej względem stycznej do niej w punkcie przegięcia (jeśli taka styczna istnieje). Krzywa przechodzi w tym punkcie z jednej strony stycznej na drugą, tzn. krzywa i styczna przecinają się wzajemnie (patrz rys. 74).

Jest to oczywiste, jeśli styczna jest pionowa (patrz rys. 43a i b na str. 181). Rozpatrzmy przypadek stycznej pochyłej lub poziomej, zakładając istnienie skończonej pochodnej f\xo). Załóżmy na przykład, że na lewo od punktu przegięcia, dla x₀—<5=$x<x₀ krzywa jest wypukła, a na prawo, dla x₀<x<x₀+ó krzywa jest wklęsła (odpowiada to rysunkowi 74b). W tym wypadku otrzymamy, że dla x<x₀ krzywa leży nad styczną (lub na niej), a dla x>x₀ — pod styczną (lub na niej), tzn. że

f(x)>f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀), jeśli    x<x₀,

oraz

/(x)</(x₀)+/'(x₀)(x-x₀),    jeśli    x>x₀.