0262

263

§ 2. Funkcje wypukłe i wklęsłe

144. Nierówność Jensena i jej zastosowania. Zgodnie z definicją funkcji wypukłej (patrz (1)) mamy

f(qix₁+q₂x2)«hf(x_l) + q₂f(x₂),    (<?i, q₂>-0, qt+q₂ = l).

Można udowodnić, że dla funkcji wypukłej zachodzi ogólniejsza nierówność (którą łączymy z nazwiskiem Jensena):

(12)    ){qi x_l+q₂x₂ + ...+q,x„)<q_lf(x_l) + q₂JXx₂) + ...+q„f(x„) (q_t ,    q„>0, tfi + ...+ <7„ = i)

dla dowolnych Xi, x₂,    , x„ z przedziału SC. Dla n = 2 nierówność ta jest, jak wiemy, słuszna. Założymy

teraz, że jest ona słuszna dla pewnego naturalnego n> 2 i udowodnimy, że jest ona słuszna również dla n+1, tzn. że biorąc n+1 wartości x_lyx„, x„₊₁ z SC i n +1 liczb dodatnich q_lt.... q„, q„+i, których suma równa się jedności, otrzymamy

(13)    f(q_x Xi + ...+q„x_n + q„ ₊ i x_n+l)<q_lf(x_l) + ... + q„f(x_n)-rq„ _{+ l}f(x„ _{+ l}) .

W tym celu zastąpmy sumę dwóch ostatnich składników po lewej stronie q„x_n+q_n+1x„₊₁ przez jeden składnik

,    l q**    9n+ 1

(9» + ^ + i) I —;--*«H--;-x_n+l

' + q<t + ł    ?nTł« + l

Pozwoli nam to skorzystać z nierówności (12) i stwierdzić, że wyrażenie znajdujące się po lewej stronie we wzorze (13) nie przewyższa sumy

qi f{x i) +... + (?„ 4- q_n +1)/ (— —— x_n +    ‘ x„ _+x).

\q* + q n+i    q* + q* + i    /

Pozostaje tylko zastosować do wartości funkcji w ostatnim składniku podstawową nierówność (13). Tak więc metodą indukcji matematycznej została udowodniona nierówność (12).

Zwykle zamiast czynników q,, których suma równa się jedności, wprowadza się dowolne liczby dodatnie p_t. Przyjmując w nierówności (12)

Pt

q<=-;-;—»

sprowadzamy tę nierówność do postaci

(YptXt\ YptJ\x,)

02*)    /(^r- <^=-•

' I, Pt '    2>

W przypadku funkcji wklęsłej / znak nierówności trzeba oczywiście zmienić na przeciwny.

Wybierając na różny sposób funkcję / można otrzymać stąd ważne konkretne nierówności — i przy tym wszystkie z jednego źródła! Przytoczymy przykłady.

1) Niech /(*) = **, gdzie x>0, k> 1 (funkcja wypukła). Otrzymujemy

('Z^p‘^x‘\^l H^p,xt‘

l,Pi '

czyli

Zastępując tu p, przez ^1>, a x, przez    \ otrzymamy znaną nam już nierówność Cauchy’ego-

-Hóldera

(porównaj ustęp 133 (5)).