27661 S6300938

40

Ostatnia nierówność jest ootywista, gdy — — 4 < 1. tzn. gdy c > -. D\a 0

Jh

dowolną liczbę naturalną większą lub równą y'

--4.

*>»•*	M
\
Prry^,
	U’

/ — — 4 1 dla 0 < £ ^ 4-

V

v i.

b) Mamy pokazać, że

A V A [(«>"«) =* (|^i~²l^<e)]-

r>0 no€N nęN

Mech e będzie dowolną liczbą dodatnią. Musimy znaleźć liczbę no € N taką,

1 2 n    I    ^

każdego n > no spełniona będzie nierówność J——— — 2| < e. Mamy

n + 1

|_2n_

In + 1

2

n + 1

< e <=> n>--1.

Zatem za no można przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą--1.

Uwaga*. Korzystając z funkcji część całkowita liczbę no można wyrazić wzorem

f 1    dla e > 1,

no =

- 1 dla 0 < e 1.

c) Mamy pokazać, że

A V A

e>0 tiq€N n£N ^L

(n > Mo)

a/9 n² + 1

n

-3

< e

Niech s będzie dowolną liczbą dodatnią. Musimy wskazać liczbę no £ N taką, że dla każdego n > no spełniona będzie nierówność

y/9n² + 1

n

-3

< e.

Nierówność ta jest kolejno równoważna nierównościom

i/PTl .    v/9n² 4-1 — 3n    1    . ^

--3 < £ <=> - < £ <==> —    -r=r—TT >

n    n    _n (>/9n² -M +³ⁿ)

Rozważmy teraz oczywistą implikację

1

1

—7—=== .    =-r < £ <=    — < £.

n (\/9n² + 1 — 3n)    n