S6300947

Rozwiązaniem nierówności — < e jest n > —, zatem za no można przyjąć dowolną . ⁷¹ 1 ⁶

liczbę naturalną większą lub równą —. Wówczas każda liczba naturalna n > no spełnia

1 . ^e 1

nierówność — < e, a zgodnie z implikacją (* j także nierówność ——. . =-- c <■ c-

n    ^{v ;}    n (y9n² + 1 + Sn)

Uwaga*. Korzystając z funkcji część całkowita liczbę no można wyrazić wzorem

no- HM ^dl*⁰<*^<;1-t 1 dla e > 1.

d) Mamy pokazać, że

A V A [("> ⁿ°) =* (l^lo8n+i 5 - 0\ < e)^ .

r>0 n₀€N «€N

Niech e będzie dowolną liczbą dodatnią. Musimy znaleźć liczbę no € N taką, że dla każdego n > no spełniona będzie nierówność Jlog_n+1 5j < e. Mamy

i

|k>g_n+1 5| = log_n+1 5 < £ <=*■ Tl > 5^e - 1.

i

Zatem za no można przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą 5* — 1. Uwaga*. Korzystając z funkcji część całkowita liczbę no można wyrazić wzorem

no =

dla e > log₂ 5,

— 1 dla 0 < e $ log₂ 5.

e) Mamy pokazać, że

A V A [(^n>no> 51

e>0 no6N n€N

Niech e będzie dowolną liczbą dodatnią. Musimy znaleźć liczbę no 6 N taką, że dla każdego n > no spełniona będzie nierówność I \/5 — lj < £. Mamy

| Vb — l| =    — 1 < e <=> 5ⁿ < 1 + e

<==» ^ < log₆(l + e)

1

<=> n > ;-—---

łogsC¹ + e)

Zatem za no można przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą j^ T 7)' Uwaga*. Korzystając z funkcji część całkowita liczbę no można wyrazić wzorem

dla e > 4, dla 0 < e $ i.

i i

«o*{

i

łog₅(2 + e)