1 Termin (topologia)

Wszystkie zadania proszę rozwiązywać w teoni ZFC W nawiasach jest podani? ila punktów można dostać za prawidłowe rozwiązanie poszczególnych fragmentów zadań,

₍ Zadani# 1 (Oirodkowoić i (a) Napisać definicję zbioru gęstego w przestrzeni topologicznej (l punkt) przestrzeni metrycznej ośrodkowej (1 punkt) Podać przykład przestrzeni metrycznej ośrodkowej* która me jest całkowicie ograniczona (2 punkty) »przestrzeni metrycznej, która nic Jest ośrodkowa (2 punkty)

* (b) Sformułować twierdzeń* o ośrodtowości przestrzeni metrycznych cofko wic* ograniczonych <1 punkt) i pr zedstawić zarys dowodu tego twierdzenia (3 punkty) w 2FC fe

_v 2adame 2 i Zwartość i (a) Napisać definicję przestrzeni topologicznej zwartej (1 punkt) Podać przykład nieskończonej przestrzeni metrycznej zwartej (2 punkty) i przestrzeni metrycznej która ni* jest zwerta (2 punkty)

*    (bl Sformułować twierdzeń* o równoważności pojęć zwartości > pseudo zwartości w klasie przestrzeni ^

metryzowalnych w teorii ZFC (2 punkty) i napisać zarys dowodu tego twierdzenia (3 punkty).    ^

*    Zada me 1 (Krzywe) (a) Napisać definicję krzywej Jordan* w R* (1 punkt) i konturu (1 punkt) oraz

spisać związki między pejędami krzywej jordana i konturu (3 punkty)    36

(b| Podać przykład krzywej w sens* Urysohna w R¹, która nie jest hip*rpow‘erzehnią ' jednowymiarowa (2 punkty), hiperpowierzchni jednowymiarowej w R², która me jest krzywą w sana* Ury—hna (2 punkty) Odpewiadtteć na pytanie czy R z topologią naturalną jest krzywą w sensie Uryaohne? (1 punkt) ii*

Zadanie 4 (Normy I iloczyny skalarne) (a) Napisać definicje normy (1 punkt), iloczynu skalarnego (1 punkt) i normy wyznaczone¹] przez iloczyn skalarny (1 punkt) w rzeczywistej przestrzeni Dniowej Określić standardowy iloczyn skalamy w R" (1 punkt) i podać jego związek z metryką eukiidesową (1 punkt)

Ib) Zapisać nierówność Schwarza (1 punkt), udowodnić ją (i punkty) i podać jakieś jej zastosowanie +

(ł»w*t) ŚŁ

Zadanie S (Wiary na odl ogłoś ri, Deczywy wektorowe I ceainus kąta), (aj Napisać następujące wzory (I) na odległość punktu p l £ od podprzestrzeru aftnicznej H * af(p₀, ~₉pt) aDmciNj 5 ^ prvest*aam euklidefowęj i, gdy pępkty Pw - .p_k są ahmezn* niezależne (2 punkty), (2) na odległość 5 i punktu p f R* od NperpłasaczyinyH w R^a# r*wnamu ogólnym a, z _l *    łf,,^ łk*ś(l    3 5

punkt). (•!) na leesyn wektorowy dwóch wektorów przestrzeni R^J (1 punkt), (łv) na cosmua kąt*    Cj,

miądty mezerowyrw wektorami wowej przestrzeni eukUdesowej pokazujący związek cesmuta tego kąta 2 Deaynem skalarnym (1 punkt)

<b) Podać dehmeję wyznacznika Grama układu wektorów Urnowej przestrzeni tukMesowej (2 punkty) oraz zapisać ideę dowodu wzoru ()) z punktu (a) tego zadania (3 punkty) ,55