2 (1829)

Rząd B

Kolokwium z topologii nr 2 23.01.2007

Proszę rozwiązać trzy spośród czterech pierwszych zadań (każde warte 6 punktów) i odpowiedzieć na dwa pytania testowe (każde warte 3 punkty)

Zadanie 1. Rozpatrzmy przestrzeń (R², d^) i zbiory

A = {(z, y) e R²; z² + y² < 4}, B = {(z, y) € R²; (z +^Ł3)² + (y + 4)² < 4}.

Proszę zbadać, czy A, B są. zwarte, zupełne, spójne? Proszę sprawdzić, czy zbiory A i B są homeomorficzne. (dt - metryka kolejowa)

Zadanie 2. Niech Y = C{[— 1,1],R) będzie przestrzenią funkcji ciągłych wyposażoną w normę ||/|| — sup{|/(t)|; t G [—1,1]}. Rozpatrzmy odwzorowanie F : Y —* Y określone wzorem

IW) J'”” ' 4 »"/(<)■

Proszę sprawdzić, czy F posiada punkt stały.

Zadanie 3. Proszę uzasadnić, dlaczego żadne dwie spośród poniższych pod-przestrzeni prostej nie są homeomorficzne

A = [0,1] U [3,5],    B = Q\ {2},

Ci

I    r l Piki /

Zadanie 4. Niech / : [3,4] —*■ [3,4] będzie funkcją ciągłą. Proszę pokazać, że / posiada punkt stały. Czy dowolna funkcja g : [3,4] —► [3,4] posiada punkt stały? Odpowiedź proszę uzasadnić.

Proszę wpisać TAK lub NIE w miejsce poprzedzające odpowiedzi. Odpowiedź poprawna (1 piet.), brak odpowiedzi (0 pkt), odpowiedź błędna (-lpkt.)M

Pytanie I Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną zupełną. Wtedy j fw | a) Każdy ciąg    C X jest ciągiem Cauchy’ego.

| T ~| b) Każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny.

I A/ l ^c) Istnieją ciągi zbieżne, które nie są ciągami Cauchy’ego.

Pytanie II. Jeśli (Y,d) jest przestrzenią zwartą zawierającą nieskończenie wiele punktów, to .

| j [ a) X jest przestrzenią zupełną.

1 jM 1 b) Istnieje pokrycie przestrzeni Y zbiorami otwartymi, z którego nie można wybrać podpokrycia skończonego.

|    | c) Każdy ciąg {y_n}S£=i C Y jest zbieżny w Y.

Życzymy powodzenia!