51283 koło z Topo kiedyś

Rząd B

Kolokwium z topologii nr 1 19.04.2011 r.

Każde zadanie warte jest 5 punktów. Życzę powodzenia!

Zadanie 1.Niech odwzorowanie d : R² x R² —i R będzie dane wzorem

d(x, y) = ln (l||max fig -1||, \x₂ - 2fe|)) .

Proszę uzasadnić, że d jest metryką oraz narysować kulę K ((—1,1), ln 2) .

Zadanie 2. Proszę zbadać zbieżność poniższych ciągów w (R², d_T), gdzie dr - metryka rzeka

b_nm 1

n + 1 (-1)’

Zadanie 3. Niech zbiór A = {(x,y) S R²; y > 2 |z|, 1 | y H 2} C (R²,d_k), gdzie d_k - metryka kolejowa. Proszę narysować ten zbiór, a następnie wyznaczyć jego wnętrze, domknięcie oraz brzeg.

Zadanie 4. Niech odwzorowanie / : (R, | • |) —| R² będzie dane wzorem f{x) = (—1,2x). Proszę sprawdzić ciągłość odwzorowania / jeżeli w R² obierzemy metrykę

a)    kolejową,

b)    rzekę.

Zadanie 5. Proszę udowodnić, że intAUintB C int(^4 U B) oraz uzasadnić, że znaku C nie można zastąpić znakiem =.