kolo topologia

Topologia, kolokwium 1, 30.04.2009

Podaj definicję ciągu zbieżnego w przestrzeni metrycznej (X,d).

~ 2. Udowodnij, że ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej (X,d) jest ograniczony.

3. JPodaj definicję zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej (X,d).

— 4. Udowodnij, że część wspólna dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

5 A Podaj definicję funkcji ciągłej z przestrzeni metrycznej (X,d) w przestrzeń metryczną (Y, c) w punkcie x należącym do przestrzeni X.

^6. JUdowodnij, że jeśli A jest podzbiorem przestrzeni metrycznej (X,d) to funkcja f(x)=d(x,A) jest funkcją ciągłą.

J/)APodaj definicję przestrzeni metrycznej zupełnej.

~S7~Udowodnij, że jesTi podprzestrzen ~(A,dj przestrzeni metrycznej' (X,d) jest przestrzenią zupełną, to A jest zbiorem domkniętym w X.

Kolokwium z topologii, 4.04.2009

lodaj definicję przestrzeni zwartej.

Udowodnij, że suma dwóch zbiorów zwartych jest zbiorem zwartym.

Udowodnij, że Int(A)nint(B)=Int(AnB).

« Podaj definicję przestrzeni spójnej.

V Korzystając z podanej definicji udowodnij, że jeśli X jest przestrzenią spójną i zbiór A jest niepustym podzbiorem przestrzeni X, który jest jednocześnie otwarty i domknięty to A=X.

6. Udowodnij, że koło otwarte na płaszczyźnie jest zbiorem spójnym.

Udowodnij, że suma dwóch kół stycznych, z których jedno jest otwarte a drugie domknięte, jest zbiorem spójnym.