skanuj0037 (2)

Ćwiczenie 3

a)    Podaj definicję ciągu ograniczonego z dołu.

b)    Podaj przykład ciągu ograniczonego z dołu.

^5.

"A

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem ograniczonym, jeśli jest jednocześnie ograniczony z dołu i z góry, czyli istnieją liczby m i M takie, że m < a_n < M dla każdego n G N+.

Przykład 2

Ciągi a_n = n², b_n = 2ⁿ, c_n = są ograniczone z dołu (przez 0), ale nie są ograniczone z góry.

Ciągi a_n — — n³, 6_n = —3ⁿ, c_n = — | są ograniczone z góry (przez 0), ale nie są ograniczone z dołu.

Ciąg a_n = ^ jest ograniczony (z góry przez 1, a z dołu przez 0).

Ćwiczenie 4

Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu (a_n). Czy ciąg jest ograniczony z dołu? Czy jest ograniczony z góry?

a) a_n — Zn?    b) a_n = 2n² + 1    c) a_n = n cos n7r

Przykład 3

Czy ciąg a_n = jest ograniczony z góry?

Przekształcamy wzór ogólny ciągu:

Zauważ, że ciąg jest malejący (uzasadnij), zatem pierwszy wyraz a\ = 7 ogranicza ciąg z góry.

Y

7

6

5

4

3

2

1

O 1 2 3 4 5 6 7A'

Ćwiczenie 5

Uzasadnij, że ciąg rosnący jest ograniczony z dołu, a ciąg malejący - ograniczony z góry.

Przykład 4

Wykaż, że ciąg a_n = 5 sin n -I- ~ + 20 jest ograniczony.

188    4. Ciągi