34686

Definicja 3. Ciąg (a_n) jest ograniczony z dołu. jeżeli zbiór {a,,} jest ograniczony z dołu. tj. istnieje m € R takie, że dla każdego n € N

o_n > m.

Definicja 4 (ciągu ograniczonego z góry). Ciqg (a„) jest ograniczony z góry. jeżeli zbiór {a_n} jest ograniczony z góry. tj. istnieje M € R takie, że dla każdego n € N

On < A/.

Przykład

Ciąg 6„ = ^3 jest ograniczony z góry- ograniczeniem górnym jest np. 1.

Definicja 5 (ciągu ograniczonego). Ciąg (a„) jest ograniczony, jeżeli zbiór {«„} jest ograniczony, tj. ma zarówno ograniczenie dolne jak i górne.

Przykład

Ciąg

n

^a»l — o i i

n* + 1

jest ograniczony. Ograniczeniem dolnym jest np. 0 a ograniczeniem górnym np. I.

Definicja 6. Ciąg (n„) jest rosnący, jeżeli

«i < 02 < 03 < izn. dla każdego n € N a„ < a_n+j.

Analogicznie definiujemy ciąg niemalejący:

Definicja 7. Ciąg («„) jest niemalejący. jeżeli

«i < aj < a₃ < ..., tzn. dla każdego n € N a_n < a_n+i.

Uwaga. Analogicznie definiuje się ciąg malejący i nicrosnący.

Ciąg nazywamy monofonicznym, jeżeli jest nierosnący lub niemalejący.

Pojęcie granicy ciągu

Rozważmy ciąg (a_n) określony przez a_n = A. Dla dowolnego e > O wszystkie, z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby, wyrazy tego ciągu należą do cpsilonowego otoczenia zera (O - c,0 + £).

Zamiast wszystkie z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby będziemy często pisać prawie wszystkie.

Definicja 8 (słowne określenie granicy właściwej ciągu). Ciąg (a„) jest zbieżny do granity właściwej a € R. jeśli w dowolnym otoczeniu epsilonowym a znajdują się prawie wszystkie wyrazy lego ciągu.

Pojęcie granicy ciągu — c.d.

Definicja 9 (granicy właściwej ciągu). Ciąg (a_n) jest zbieżny do granicy właściwej a € R. co zapisujemy

lim a„ = a,

n—»oo

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego e > O istnieje n₀ € N takie, że dlu każdego n naturalnego większego niż no

|a„ - a| < e.

2