177 2

3.4. Granica ciągu 177

Oznacza to, że ciąg (a_n) jest malejący. Wtedy dla każdego n e N mamy

0 < a_n < a_n_i < ... < a\ =2

Skoro ciąg (a_n) jest monofoniczny i ograniczony, jest więc zbieżny do granicy właściwej - oznaczmy ją przez g. Wtedy

0 < g = lim a_n+] = lim ^C'ⁿ = -~—

n-» °°    n—*oo 1 + a_n 1 + g

g =

Stąd otrzymujemy

J Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 3.11. Wykazać zbieżność ciągu (a„), wykorzystując jego monotoniczność i ogra-niczność, jeśli

a) a_n =

i

e+l

+ ~2 + .

e^z+2 eⁱ+3

b) a_n =

(n + 1)!

Zadanie 3.12. Obliczyć granicę ciągu.

a) a„ = bi a_n =

c)    a_n =

d)    a_n =

i . =

f - =

g» a_n =

h) a_n =

-5n⁶ + n⁵ - 4n² + 8 6n⁵ - In² + n — 9 n!

(n + 1)! — n!

(n + 2)1 +(n+ 1)!

(77 + 3)!

(n + 2)!+(«+ 1)!

(77 + 2)! - (77 - 1)!

I 5n⁴ - 6n² + 1 \¹⁰⁰¹ l -5«⁴ + 6n - 5 /

(n³ + 5n - l)²⁰⁰⁷ (n + l)⁷⁰⁰² / 2²" + 3" - 8 \⁸ 1 4n + 2" - 1 j 4" - 3"

4" + 5"

i) a_n =

Ąn+l _ $n+2

5" - 4"

j) —

4³»-² _ 7 8²" - 5

k) a„ =

ł) ^77

6"

1 + 2" + 3"

J2ⁿ +5"

3ⁿ + 4ⁿ

m) a_n

n) a„ =

■Źjn + (/« — 4 n— yjii + i/n + 8

o) a„

( y/ii + l)⁵