0075

76

I. Teoria granic

Oznacza to, że istnieje granica (w zwykłym sensie)

lim x„ = — co ,

która równocześnie jest granicą górną i do!ną(‘)-

Pozostaje rozpatrzyć najważniejszy przypadek, gdy istnieje skończona granica

iim M_k — M* .

Pokażemy, że liczba M* jest wówczas szukaną granicą górną ciągu {*„}.

W tym celu ustalmy dwie własności charakterystyczne liczby M*.

Jeżeli weźmiemy dowolnie liczbę e>0, to istnieje takie k = N', że M_N-<M*+e; ponieważ przy n>N' jest    to również i x„ < M* + e. W ten sposób otrzymaliśmy pierwszą własność.

I    własność liczby M*. Dla dowolnego e>0 istnieje taki wskaźnik N', że dla n>N’ jest

x„<M*+e .

Z drugiej strony przy dowolnym £>0 i dowolnym k jest

W takim razie, na podstawie własności kresu górnego [11], spośród wartości x_n o wskaźnikach n = = k + l, k+2, ... znajdziemy takie x„., że x„,;> M* —e. Zamieniając dowolnie wzięty wskaźnik k na N, otrzymujemy drugą własność.

II    własność liczby M*. Dla dowolnego e>0 i wskaźnika N istnieje wyraz x_n., n’>N taki, że

x„ > M*—e .

Podkreślmy różnicę w sformułowaniu obu własności. W pierwszym przypadku nierówność spełniona jest dla wszystkich wyrazów x„ począwszy od pewnego. W drugim przypadku nierówność jest spełniona tylko dla pewnych x„, wśród których są jednak wyrazy o dowolnie wielkich wskaźnikach.

Opierając się na tych własnościach udowodnimy przede wszystkim, że liczba M* jest punktem skupienia ciągu x„. W tym celu należy wybrać podciąg {x„_:} zbieżny do M*.

Obierzmy ciąg liczb dodatnich £,->0. Podstawiając n_l = l, przypuśćmy, że wskaźniki

n, =1 <«₂ <«3 <••• <«i-i

są już wybrane i pokażemy jak wybrać w,. Na mocy własności I dla e = e_t znajdziemy odpowiedni wskaźnik N' — N, taki, że dla wszystkich n>N, jest x„ < M* +?.,. Teraz skorzystajmy z własności II, przyjmując jak dawniej e = ei, a za N obierając większy ze wskaźników _ i i N,; temu wyborowi liczb e i N odpowiada wskaźnik n' = n,. Dla niego, z jednej strony

x„_t>M*-e_t,

z drugiej zaś przy n, > N_t jest jednocześnie

x„_l<M*+e_t .

Zauważmy ponadto, że

Dla wyrazów x,, utworzonego indukcyjnie ciągu mamy

|a-„. —    (i=2,3,4,-...),

czyli rzeczywiście x„_l—>M*.

Na koniec ustalmy, że żaden punkt skupienia nie może przewyższać M*. Rzeczywiście, niech dla pewnego podciągu {x„_[} będzie x„,-ta, czyli a jest jednym z punktów skupienia. Na podstawie własności I dla dostatecznie dalekich wskaźników (większych już niż N') jest

X_n[<M*-T£ .

(‘) Jeżeli istnieje granica zwykła, to wszystkie punkty skupienia ciągu są jej równe [40],