ciągi 2

9. Ciąg (a_n) jest arytmetyczny. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu, jeżeli suma m początkowych jego wyrazów o numerach:

a) parzystych jest równa 6ra² — 4m, b) nieparzystych jest równa 3rn² + m.

10.    Wykaż, że dla dowolnego ciągu arytmetycznego zachodzi równość.

^a) <$3n — 3(S2n — 5_n)    b) S_n+3 — S_n = 3(S_n+2 ~ S_n+1)

11.    Suma trzech początkowych wyrazów rosnącego ciągu geometrycznego jest równa sumie odwrotności tych wyrazów. Oblicz te wyrazy, jeżeli szósty wyraz ciągu jest równy 16.

12.    Oblicz iloraz rosnącego ciągu geometrycznego (a_7l), jeżeli:

a)    (Ią = (Z3 + 8, (L\ + 0‘2 + &3 ⁼ 14,    b) &3 = 3, (2i • 0,2 ■ ^a3 ' &4 — 108.

13.    a) Wykaż, że jeżeli suma czterech początkowych wyrazów malejącego ciągu geometrycznego jest dziewięć razy większa od sumy kolejnych czterech wyrazów tego ciągu, to iloraz ciągu jest równy

b)    Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a_n) o ilorazie ~ jest szesnaście razy większa od sumy kolejnych n wyrazów tego ciągu. Oblicz pierwszy wyraz ciągu, jeżeli d2_n — 640.

14.    Iloczyn dziesięciu początkowj^ch wyrazów o numerach parzystych rosnącego ciągu geometrycznego jest 32 razy większy od iloczynu dziesięciu początkowych wyrazów o numerach nieparzystych. Oblicz szósty wyraz ciągu, jeżeli suma kwadratów wyrazu pierwszego i drugiego jest równa 30.

15.    Suma k początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa 3, a suma 2k początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 18. Oblicz sumę 3k początkowych wyrazów tego ciągu.

16.    Suma logarytmów dziesiętnych trzech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (a_n) jest równa 3, a suma wyrazu drugiego i trzeciego wynosi 11. Oblicz logaioo-

17.    Ciąg (a_n) określony jest wzorem rekurencyjnym. Czy jest to ciąg arytmetyczny lub geometryczny? Jeśli tak. oblicz sumę dziesięciu pierwszych jego wyrazów.

aj ttj 2,    \/QjCL_n b) CL[ —    2, ci_nĄ.\ — d_n~\~o c) o,\ — 3,    ⁼ 2 ci_n

18.    Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a„) jest równa 20. Oblicz najmniejszą wartość funkcji f{x) = x² — m²x + 3m — 1 oraz różnicę ciągu (a_n), jeśli f(ai) = f(d₁₀) = 0.

8. Ciągi 37