5466967420

49. Wykazać, że ciąg

ma granicę równą 2\/2 — 2.

Wskazówka. Ciąg a_n jest ciągiem sum całkowych pewnej funkcji /: [0,1] —> R.

50. Wykazać, że ciąg

a_n ■= — y/{n + l)(n + 2) • • • (n + n), n — 1,2,... n

ma granicę równą 4e ¹.

Wskazówka. Ciąg log a_n jest ciągiem sum całkowych pewnej funkcji /: [0,1] —* R.

51.    Znaleźć dwa trójkąty równoboczne o sumie pól równej 2, których suma obwodów jest maksymalna.

52.    Znaleźć punkty przegięcia krzywych y = e~*² i y = xe~*².

53. Obliczyć wartość całki oznaczonej

54.    Udowodnić, że fg xⁿ sinxdx < dla n € N.

55.    Wartość całki I = fg e~^x2 dx przybliżono, korzystając z prostej kwadratury trapezów, liczbą T = |(1 + e^-1). Wykazać, że błąd bezwzględny \I — T\ tego przybliżenia spełnia nierówność

l-r-r|< b

56. Wyznaczyć taką trójkę liczb rzeczywistych a, b, c, żeby dla dowolnego wielomianu w stopnia nie większego niż 2 spełniona była zależność

dx = aw(0) + bw( 1/2) -I- ct/;(l).

57. Dla rzeczywistych x i y obliczamy a — x² — y² oraz 6 = 2xy, stosując algorytm:

p := x - y; q:=x + y; a = p * q; b = 2*(x*y);

Uzasadnić, że ten algorytm jest numerycznie stabilny.

58.    Funkcja /: [a, 6] —* (0, +oo) jest ciągła. Określamy nową funkcję tp: (a, b) —> R, ip(t) = J^(x — t)²f(x)dx. Wykazać, że funkcja ip osiąga na (a, b) swoje minimum. W jakim punkcie? Scharakteryzować ten punkt w terminach wyjściowej funkcji /.

59.    Obliczyć długość jednej fali cykloidy t (t — sint, 1 — cost), 0 < t < 2n.

60.    Obliczyć długość asteroidy |x|²^³ + |y|²^³ = 1, gdzie (x, y) € R².

61.    Wykazać, że długość elipsy x² + 2y² = 2 jest równa długości jednej pełnej fali wykresu sinusoidy x ■—» sin x, 0 < x < 2n.

62.    Obliczyć długość wykresu funkcji

/(z) = i(z² + 2)^3/2, x € [0, 1].

63.    Dla jakich a > 0 funkcja f(x) = (^j)^a jest całkowalna na przedziale (0, |) ?

5