topoeb

1.    Udowodnić, że ciąg Cauchy jest ograniczony.

Dowód: Przyjmijmy, żc (x_n) ciąg Cauchy. Weźmy e — 1 3_N t^_>v d(xj,x_v) < e. tzn. x_l€B(x_s, 1). Niech r = max[d(x^,x_x),d(.x₂,x_s).....d(x_n,x_v)}. Wtedy laila B(x_x, r + 1) zawiera wszystkie x_n. m

2.    Udowodnić, że ciąg ma najwyżej jedną granicę.

Dowód: Przypuśćmy, że ciąg {x„} ma dwie granice gi.g_z&’9i ^ 9z■ Weźmy liczbę e = i rozważmy otoczenia liczb g_ltg₂ o promieniu e. Zgodnie z definicją w otoczeniu g_z w przedziale (g₂ — f. g₂ + O znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, a więc w przedziale (g_r — e, g_x + z) znajduje się tylko ich skończona ilość. Zatem g_l nie może być granicą ciągu {x„} ■

3.    Udowodnić, korzystając tylko z definicji, ze jeśli F jest taką funkcją dla której przęciwobrąz każdego zbioru otwartego jest otwarty to obraz każdego ciągu zbieżnego jest zbieżny.

Dowód: Niech (X,d₁),(Y,d₂') przestrzenie metryczne. Niech F-.X-*Y taka, ze V_ot^._{arttgo VcY} F^-1(V) otwarty w X. Niech {x_n}cK taki, że x_n -* x₀eX. Pokazać, że /(x„) zbieżny w Y do f(x₀). Ze zbieżności B(f(x₀),e)cY dla dowolnego £>0 i B(f(x₀),e) jest zbiorem otwartym Zatem /~¹(B(/(x₀),e)) jest otwarty, zatem istnieje 6> 0 takie, że 3(x₀,<y)c/^_1(5(/(x₀),e))cY. a stąd /(B(x₀,<S))cS(/(x₀),f) Ponieważ x„ -* x₀ więc istnieje N takie, że jeśli n> N to x_neB(x₀,S), ale wtedy f(x„)eB(f(x₀),e). m

4    Udowodnić, że podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest domknięty

Dowód: Niech (4f,d) przestrzeń metryczna. AcX jest przestrzenią zwaną i a_neA,a_n — x₀ Pokażemy, że x₀e.4 Ponieważ /I zwarty więc istnieje podciąg a_n. -* a_neA zatem a_n = x₀eA ■

5    Udowodnić, ze jeśli F X—Y jest funkcją ciągłą to jej wykres jest domknięty w iloczynie kartezjańskim przestrzeni X i Y.

Dowód: Niech (A',d_ł),(K, d₂) przestrzenie metryczne, F: X -* Y funkcja ciągła Pokażemy, że wykres F. tj zbioru r_F = {(x,F(x))eA^r X Y: xeX} jest domknięty w X XY Niech (x₀,y₀) będzie punktem skupienia r_F Pokażemy, że (x_Q,y₀)er_F Istnieje ciąg {(x_n,y_n)}cT_F taki, że (x_n,y_n) -> (x₀,y₀) oraz

(*„»>’„) * (x₀,y₀) dla n = 1,2.....Ponieważ (x_n,y_n) -> (x₀,y₀), więc x_n -> x₀,y_n -»y₀. Wiemy, że

y_n = F(x_n) dla n = 1,2,... zatem z ciągłości funkcji F wynika, ze F(x_n) -* F(x₀), czyli y_n — F(x₀), ale w przestrzeni metrycznej ciąg może mieć tylko jedną granicę więc y₀ = F(x₀), a to oznacza, że punkt (x₀,y₀)er_F.m

6    Udowodnić, ze jeśli F:X—Y jest jednostajnie ciągła to obraz ciągu Cauchy jest ciągiem Cauchy.

Dowód: Niech (X,d_l),(Y,d₂) przestrzenie metryczne, {x_n)iZV ciąg Cauchy. F:X -* Y jest jednostajnie ciągła tzn. V._>0=_s>0 V_xmX d,(x_l,x₂) < 6 -* d₂(/(xj),/(x₂)) < e '• (x_HJ jest ciągiem Cauchy w X tzn fc^_>0J_v K>n ^i(.^xi>^xs) ^{< a} ^ Aby pokazać, że /(x_n) jest ciągiem Cąuęhy ustalamy dowolne e > 0. Istnieje takie 6 > 0 takie, że zachodzi^:1). Z ® dla a = 6 dobieramy N. Dla dowolnego l € "S.l > N mamy: z wynika, że d₁(x_l,x_v) < 6. z • wynika, że d^(/(xj),/(x_v). ■

7. Udowodnić, ze suma dwóch zbiorów zwartych jest zbiorem zwartym.

Dowód: Niech A, B zwarte. Niech {U_a : a < k] będzie rodziną zbiorów otwartych pokrywających zbiór A U B. Rodzina ta pokrywa zbiór A oraz zbiór B. Jeżeli A zwarty zatem istnieje podciąg {<*„..} dla pewnego k takie, że rodzina {U_a„ : n < k + 1} pokrywa zbiór A Jeżeli B zwarty zatem istnieje podciąg {/?„.} dla pewnego l takie, że rodzina {U_5r : n < Z + 1} pokrywa zbiór B Zauważmy, ze rodzina {U_a>ł : n < k + 1} U [Ug₍, : n < l + 1} pokrywa zbiór 41)5 i jest skończoną podrodziną rodziny {U_a : a < k] Zatem A U B jest zwarty. ■