analiza04a

28.    Udowodnić, że jeśli funkcja / jest całkowalna na zbiorze E względem miary \i i B_n = {x E E : |/(x)| > n} to y(Bi) jest skończona i Jim^p(B_n) = 0.

m

29.    Dane są liczby nieujemne pi, P2, Pm takie, że Y Pk — 1- Wykazać, że funkcja

/(P1,P2, —,Pm) = - £ Pk lnPk osiąga największą wartość dla Pi = P2 =    = Pm = — ■

k=i    m

Przyjmujemy, że 0 • lnO = 0.

30.    Wykazać, żc funkcja /(x, y) = xy - ln(xp) jest wypukła na zbiorze E = (0,1) x (0,1).

31.    Wyznaczyć zbiór wypukły W C K² na którym funkcja f(x,y) = x⁴ + y^Ą + 12axy jest wypukła.

32.    Dana jest funkcja rosnąca lub malejąca / : P i—* R gdzie P jest przedziałem w R. Dla x,y E P określamy g{x, y) = | f(x) - f(y) \ . Wykazać, że q jest metryką w P. Dla funkcji f(x) = arctprc i F = R oraz f(x) = x^_1 i F = (0, oo) wyznaczyć kulę o środku y = 1 i promieniu r = 1 w tej metryce.

33.    Dla a = (aą.j/i) € R² i b = {x₂,y₂) € R² określamy y(a,b) = max{|x! - x₂\ , \yi - y₂|}-Wykazać, że Q jest metryką w R², a kule w tej metryce są otwartymi kwadratami.

34.    Wyznaczyć wnętrz,c, brzeg, domknięcie i punkty skupienia zbioru 4clł gdy

a)    A = {0} (J{1) U U ( —> — )■ ^Czy zbiór A zawiera punkty izolowane.

n=l    4ⁿ/

b)    A = |x £ R : sin - = oj. Czy zbiór A jest zwarty, spójny.

35.    Zbadać jednostajną ciągłość funkcji

a) f(x) =

2 + 7z

dla x 6 [0, oo)

b)    f(x) = —= dla x E [a, oo) , a > 0 ustalone oraz dla x e (0,co)

\/X

c) . f(x) = e^x dla x E (-oo,0) oraz dla x€R

d) . f(_x) = — dla x € (0, tt) .

Prowadzący przedmiot dr Wojciech Hyb Katedra Zastosowań Matematyki