88440

2

Tadeusz Świrszcz, Materna tyka- wykład, rok ak. 2011/2012

1.7. Twierdzenie. Jeśli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a, 6], to funkcja cf(x) jest. całkowalna w [a, 6] i

I cf(x)dx = cf f(x)dx.

Ja    Ja

1.8. Twierdzenie. Jeśli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale [a, 6] i f(x) < g(x) dla każdego x € [a. 6], to

[ f(x)dx < f* g(x)dx.

Ja    Ja

1.9. Twierdzenie. Jeśli c € (a.b). to funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a. 6] wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w przedziałach [a,c] i [c,6]. Ponadto

[ f(x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx.

Ja    Ja    Jc

1.10.    Twierdzenie. Jeśli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a. 6], to funkcja |/(x)| jest całkowalna w [a. 6] i

[ f(x)dx\ ^ f \f(x)\dx.

Ja    J a

1.11.    Twierdzenie. Jeśli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a. 6], to jest całkowalna w [a, 6].

1.12.    TWIERDZENIE. Niech f(x) będzie funkcją określoną w przedziale [a. 6]. Jeśli funkcja f(x) jest ograniczona i ciągła w zbiorze otrzymanym z przedziału [a, 6] przez usunięcie skończonej liczby punktów, to jest całkowalna w [a, 6] i f(x)dx nie zależy od wartości funkcji f(x) w punktach nieciągłości.

1.13.    Twierdzenie. Jeśli f(x) jest całkowalna w [a, 6], to funkcja F(x) zdefiniowana wzorem

F(x) = f f(t)dt

Ja

dla x € [a,6] jest ciągła w [a,6]. Jeśli ponadto f(x) jest ciągła w (a.b). to F(x) jest różniczko-walna w (a.b) i F'(x) = f(x) dla każdego x € (a. b).

1.14.    Twierdzenie. Jeśli f(x) jest ciągła w [a, 6], to funkcja F(x) zdefiniowana wzorem

nx)= f/m

Ja

dla x € [a.b] jest różniczko walna w [a, 6] i F’(x) = f(x) dla każdego x £ [a, 6].

1.15.    Wniosek. Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale [a. 6], to ma ona funkcję pierwotną w [a. 6] i dla dowolnej funkcji pierwotnej F(x) funkcji f(x)

b

j f(x)dx = F(b) - F{a) = F(x)\\

a

1.16.    Całkowanie przez części:

6    b

f f'(x)g(x)dx = f(x)g(x)^ - J f(x)g’(x)dx.