88439

2

Tadeusz Świrszcz, Matematyka - wykład, rok ak.2011/2012

gdzie t = tp ¹ (ar).

1.8. Przykład. Podstawiając z = x² otrzymujemy dz = 2xdx. dx = ^dz,

/xdx 1 f dz

= 2 J 7r=p ^{= arcs,n2 + c = arcsra(x} ’^+c-

1.9. PRZYKŁAD. Podstawiając x = osin#, gdzie - j < f < 3, otrzymujemy

y*\/a² — x²dx = J \Ja? — a²sin²1 acost dt = a² Jcos²1dt = — J(cos2t + l)d< =

= — ^ sin 2< + f ^ + C = -7^- (sin t. cos t + <) + C =    ^sin f 1 — sin²1. + t^j + C ■

= — (— Jl -    + aresin + C = - \/a² — x² + aresin — + C.

2 \a\    \a)    aj    2    2    a

2. Całkowanie funkcji wymiernych

2.1. Definicja. Funkcjami wymiernymi nazywamy funkcje postaci

/(*) =

P{*)

Q{*)'

gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami. Szczególnymi przypadkami funkcji wymiernych są ułamki proste. Funkcja postaci

d

(ax + 6)ⁿ ’

gdzie a / 0 i n jest liczbą naturalną, nazywa się ułamkiem prostym pierwszego rodzaju. Fhnkcja postaci

Ax + B

(ax² + bx -f c)ⁿ '

gdzie a £ 0. A = łr — Aac < 0 i n jest liczbą naturalną, nazywa się ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

2.2. Ułamki proste pierwszego rodzaju całkujemy stosując |x>dstawienie z = ax + b. Otrzymujemy

f A , _A fdz

i (nj* + 6)"    a) z" ’

2.3. Przy całkowaniu ułamków prostych drugiego rodzaju pierwszym krokiem jest podzielenie (z resztą) wielomianu Ax + B przez pochodną 2ax + b trójmianu aar² + bx -t- c:

A    /    4/>\

^_+B = -(2ox ₊ 6)₊(_B--).

Stąd

f Ax + B , _ A_ f    2ax + b    ( _ Ab\ f    1    ,

J    (ax²    + bx + c)ⁿ *^U    2a    J    (ax²    -F bx + c)ⁿ \    2aJJ    (ax²    + bx + c)^{n (} *