88454

2

Tadeusz Świrszcz, Matematyka, wykład, 2011/2012

1.7.    TWIERDZENIE (o zachowywaniu nierówności przy przejściu do granicy). Niech lim f(x) = a

*0

i niech lim g(x) = b. Jeśli f(x) < g(x) w pewnym sąsiedztwie punktu xq, to a < b.

X—X o

1.8.    Twierdzenie (o trzech funkcjach). Jeśli lim f(x) = a. lim h(x) = a i f(x) < g(x) < h(x)

X—*X<)    X—lo

w pewnym sąsiedztwie punktu xo, to lim g(x) = a.

x—x₀

1.9.    Granice funkcji w ±oc. Twierdzenia o granicach w ±oc. Asymptoty poziome.

1.10.    Twierdzenie. Granica lim (l + 7) istnieje i jest liczbą niewymierną, której przybliżona wartość wynosi 2,72.

1.11.    Definicja. Granicę Jiin^ (l + 5) oznaczamy symbolem e. Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmcm naturalnym i oznaczamy symbolem ln (tzn. lnx = log_r x).

1.12.    Twierdzenie. Jeśli lim f(x) = 0 1 f(x) 0 w sąsiedztwie x₀. to

X—xo

lim (1 + /(x))7To = e. x—*xo

1.13.    Definicje i własności granic jednostronnych.

1.14.    Twierdzenie, lim flx) = a <=> lim /(x) = a? lim f(x)=a.

X—Xq    X—x<)+    X—Xo~

1.15.    Granice niewłaściwe i ich własności. Asymptoty pionowe.

1.16.    Twierdzenie. Jeśli lim f(x) = ±oc. to lim 77^ = 0.

X—X0    X—X0 J\^X>

1.17.    Twierdzenie. Jeśli lim f(x) = 0 i f(x) > 0 w sąsiedztwie xo. to lim -J-r = 00.

X—*xo    X—*X0

Jeśli lim /(x) = 0 i /(x) < 0 w sąsiedztwie xo, to lim 77-7 = -00.

X—»xo    X—xo ■»

1.18.    Granice niewłaściwe w ±oc.

1.19.    Definicja. Niech / będzie funkcją określoną w przedziale (a. oc). Prosta o równaniu y = ax + b nazywa się asymptotą (ukośną) funkcji / w 00, jeśh

lim (/(x) - ax - b) = 0.

X—*oo

Tak samo definiuje się asymptotę funkcji / w -00. Nietrudno zauważyć, że asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej

1.20. Twierdzenie. Piosta o równaniu y = ax-\-b jest asymptotą funkcji f woo wtedy i tylko wtedy. 9^d'J

lim '■ = a

x—oo x

^ ^ —    * lim (/(x) — ax) = b.

Podobnie dla asymptoty w -00.

2. Funkcje ciągłe

2.1. Definicja. Niech / będzie funkcją określoną w pewnym zbiorze X C R i niech xq G X. Mówimy, że funkcja / jest ciągła w punkcie x₀. jeśli

(Ve > 0)(3<$ > 0)(Vx G O(x₀.ó)n X) f(x) G O(f(x₀),e).