P6080234 (2)

Jeśli funkcja f e C[a, b] jest ortogonalna w tym przedziale z wagą w względem wszystkich wielomianów klasy n_n, to w (a. b) zmienia znak co najmniej n + 1 razy

Funkcja stała należy do zbioru n_n, więc f(x)w(x) dx = 0, skąd wynika, że f zmienia znak co najmniej raz. Załóżmy, że f zmienia znak tylko r razy, gdzie r < n. Istnieją zatem punkty t, takie, źe

a = t₀ < % < • •• < t_r < t_r+1 = b

i źe w każdym z r + 1 przedziałów (fc, U), (f_t, f₂), — (f_r, t_r+1) funkcja f jest albo niedodatnia, albo nieujemna. Wielomian p(x) = nLi (x - f,) stopnia r < n ma tę samą własność, czyli powinno być Ja ^f(^x)P{^x)^wi^x)^dx £ 0, ale to przeczy założeniu.

©Zbigniew Bartoszewski (Politechnika Gdańska) * RÓŻNICZKOWAĆ