DSCN1083

3.30. Wykazać, że ciąg (a*) określony wzorem rekurencyjnym:

f^ai =n/3 _

l«n+i = >/3 + a_m

jest zbieżny. Obliczyć jego granicę.

3.31. Ciąg (a„) jest określony wzorem rekurencyjnym:

1)    H-nA _

U„+1 =>/r + a», gdzie r>0;

2) \^a'⁼S

la,,₊ i = y/r-a** gdzie r> 1;

Wykazać, że ciąg (a_n) jest zbieżny i znaleźć jego granicę.

3.32. Ciąg (aj jest określony rekurencyjnie w następujący sposób:

pi = ^a

l°2 — P

la. + 2=^s(y + l)a» + i -ya_H, gdzie a.p.yeR.

Zbadać dla jakich wartości a, fi, y ciąg (a„) jest zbieżny i do jakiej granicy.

3.33. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

_ 51427 ^ ”9 20 35

2n² — n — 1 2n² + n — 1 *

n = 2, 3, 4...

3.34.    Ciąg (uJ jest określony rekurencyjnie w następujący sposób:

(“1=0

] "2 = ¹ „2

^U-*^{3 =} CT(n + 2)‘^l’^dla,,eAr+-

Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu (uJ i zbadać zbieżność tego ciągu.

3.35.    Ciąg (uJ jest określony rekurencyjnie w następujący sposób:

{Uj = a + b u₂ = a² + ab + b² u_{a +} 2 = (o + b)u_H+l — abu„,

gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu (uJ i zbadać dla jakich a, b ciąg (u„) jest zbieżny.

§ 4. Równania, nierówności, układy równań

4.1.    Rozwiązać równania:

a)    x⁴ - 32x³ + 254x² + 32x - 63 = 0

b)    x⁶ - 6x⁴ - 20x³ + 9x² + 60x + 36 = 0,

c)    x⁶ + 6x⁵ + 10x⁴ — 9x² — 2x + 2 = 0.

4.2.    Zbadać ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie

x⁵ + x² + 1 = 0.

4.3.    Rozwiązać równanie

x² + x + 12_v/x + 1 = 36.

4.4.    Rozwiązać równanie (po lewej stronie mamy sumę nieskończoną)

log(x²) log(x³)    log(x")    _;si₈

(logx)²    (logx)³    (logx)"

4.5.    Rozwiązać równanie log₂(l + y/x) = log₃x.

4.6.    Rozwiązać równanie (nierówność)

a)    log, ₂ (y/x + #) = ^ logęX,

b)    log₅ (1 +_v/^)^>1°gi6-x-

4.7.    Rozwiązać równanie

4 sin¹²x + 4 sin⁶x cos⁶x + 4 cos⁶x + 3 sin² 2x = 4.

4.8.    Rozwiązać równanie

a) max (sinx, cosx) = 0, b) min (sinx. cosx) = 0.

23