DSCN1087

4.54. Wykazać, że jeśli równania

x² + ax + b = O i x² + cx + d = O mają co najmniej jedno wspólne rozwiązanie, to b(a — c)² — a(a — c)(b — d) + {b — d)² = 0.

4.55. Ile jest równań postaci x² — px — q — 0, gdzie p,qeN,z których każde dwa ma różne rozwiązania należące do przedziału (—oo;4)?

4.56. Dana jest liczba naturalna dodatnia n. Wyznaczyć liczbę równań kwadratowych postaci x² — px — q = 0, o naturalnych współczynnikach p. q takich, że dodatni pierwiastek każdego z tych równań jest mniejszy od n.

4.57. Wykazać, że jeśli a =f 0, to jednym z pierwiastków równania ax⁵ + bx^Ą + cx³ + cx² + bx + a — 0 jest liczba (—1) zaś pozostałe pierwiastki tego równania należą do zbioru rozwiązań równania

ax* + (b — a)x³ + (a — b 4- c)x² + (b — a)x 4- a = 0.

§ 5. Własności miarowe figur

Uwaga. Tam, gdzie nie prowadzi to do nieporozumień, nie wprowadzamy rozróżnień między odcinkiem a jego długością.

Przez długość dwusiecznej kąta w trójkącie rozumiemy długość odcinka, zawartego w tej dwusiecznej, łączącego wierzchołek tego kąta z bokiem przeciwległym.

Mówiąc o sumie kątów mamy na myśli kąt o mierze równej sumie miar tych kątów, a mówiąc o nierówności między kątami mamy na myśli nierówności między ich miarami.

5.1. Wewnątrz kąta o mierze 60° dany jest punkt P, którego odległość od jednego ramienia wynosi b, zaś od drugiego c.

Obliczyć odległość punktu P od wierzchołka kąta.

5.2.    Ramiona kąta o mierze a = 60° przecięto prostą p prostopadłą do jednego z ramion kąta i wpisano dwa koła styczne do obu ramion danego kąta i do prostej p.

Wykazać, że dla każdej prostej p spełniającej podane warunki, stosunek pól tych kół jest stały.

5.3.    Na płaszczyźnie dany jest kąt o wierzchołku P i okrąg o środku O styczny do ramion kąta w punktach A i B.

Wyznaczyć zbiór wszystkich takich punktów płaszczyzny, że styczne do danego okręgu przechodzące przez te punkty nie mają punktów wspólnych z odcinkami PA i PB.

5.4.    Punkt O należy do wnętrza trójkąta ABC. Odległości tego punktu od prostych AB, BC, AC są odpowiednio równe x, y, z, zaś wysokości tego trójkąta opuszczone na boki AB, BC, AC mają odpowiednio długości h_lt h₂, h₃.

Wykazać, że

x

ih ⁺

5.5.    Punkt P należący do wnętrza trójkąta ABC jest odległy odpowiednio o x, y, z od prostych BC, AC, AB. Niech r będzie długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Wykazać, że

2r <x + y +z.

5.6.    Przez punkt M należący do wnętrza trójkąta ABC poprowadzono trzy proste równoległe do boków trójkąta. Proste te podzieliły dany trójkąt na 3 trójkąty i 3 równoległoboki. Wykazać, że suma pól tych trzech trójkątów jest nie mniejsza niż y pola trójkąta

ABC.

5.7. (Tw. Cevy) Punkt O należy do wnętrza trójkąta ABC. Proste AO, BO i CO przecinają boki BC, CA i AB odpowiednio w punktach K, L, M. Wykazać, że

\AM\ \BK\ \CL\ \MB\ \KC\ \LA\

31