DSCN1081 (2)

3 6 Wykazać, że jeśli x_x, x₂.....x„ są liczbami dodatnimi i mniejszymi

od jedności, to

(1 - x,) (1 - x₂)...(l-*■)> 1 ~ (*i + x₂ +... + x_H).

3.7. Wykazać, że jeśli x,. x₂, x₃, ..., x„ są liczbami nieujemnymi takimi, że

x, + x₂ + x₃ +... + x„ <

to

(l-x,)(l-x₂)... (l-x„)^-.

3*8. Wykazać, że jeśli a,, a₂.....a„ są liczbami dodatnimi i mniejszymi

od jedności, to

(fl, + a₂ +... + a„) - a, ‘a₂\..-a_n4n~ 1.

3.9. Wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0, 1, — 1 i dla każdej liczby naturalnej dodatniej n, zachodzi równość:

3.10. Obliczyć sumę n początkowych wyrazów ciągu (aj, którego n-ty wyraz jest określony następująco:

3.11. Ciąg (S„) jest określony wzorem:

Znaleźć S_x 5, Ś₉₉, S_k* _,, gdzie k — 2, 3,4,....

3.12. Obliczyć sumę n kolejnych liczb postaci: a) 3 + 33 + 333 +... + 333~.3

n-cyfr

b) 7 + 77 + 777 + ...+ 777 ...7.

n-cyfr

Spróbować uogólnić zadanie.

3.13.    Obliczyć:

¹ . ¹ , ¹ . . ¹

^a)    2⁷3 ⁺ 3⁷4'^ł'4^:5 ⁺ *" ⁺ (n + l)(n + 2)*

1 1 1 1

^b)    2-5 ⁺ 3-6 ⁺ 4-7 ⁺ *" ⁺ (n+ l)(n + 4)*

3.14.    Ciąg (aj jest ciągiem stuwyrazowym, którego każdy wyraz równa się 1 lub — 1. Zbadać, czy można ciąg (aj rozbić na dwa ciągi (hj i (c J w ten sposób, by łącznie spełnione były warunki:

1)    ciągi (b_k) i (c_m) mają razem 100 wyrazów,

2)    ciągi (b_k) i (c_m) mają razem tyle wyrazów równych 1 ile ma ich ciąg (aj,

3)    ciągi (b_k) i (c_m) mają razem tyle wyrazów równych — 1 ile ma ich ciąg (aj,

4)    suma wyrazów ciągu (bj jest równa sumie wyrazów ciągu (cj.

3.15.    Wykazać, że jeśli (aj jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym o wszystkich wyrazach naturalnych, to z wyrazów ciągu (aj można wybrać nieskończenie wiele wyrazów tworzących ciąg geometryczny.

3.16.    Udowodnić twierdzenie:

1)    (nierówność Euklidesa).

Jeżeli cztery liczby dodatnie a, b, c, d są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q =/= 1> to a + d> b + c.

2)    (twierdzenie J. Bernoulliego)

Jeżeli dane są dwa ciągi: ciąg arytmetyczny (aj i ciąg geometryczny (b„) takie, że

(a_n > 0 i = &i * «2 = b₂)> to

_^A3 (a_n<b_n).

n >3

19