DSCN1091 (2)

Wykazać, że długość jednego z odcinków AD, BD, CD równa się j sumie długości dwóch pozostałych odcinków.

5.49. Punkty A i C są końcami łuku okręgu, zaś punkt B należy do tego I tuku. ale nie jest jego środkiem ani jego końcem.

Udowodnić, że przy powyższych założeniach prawdziwe jest I twierdzenie (Archimedesa):

Prosta prostopadła do dłuższego z odcinków AB, BC i prze- I chodząca przez środek rozpatrywanego łuku dzieli łamaną ABC l na dwie części o równych długościach.

5.50.    Dane jest koło o środku O i promieniu r oraz punkt P należący do j wnętrza tego koła. Rozpatrujemy rodzinę wszystkich cięciw ' danego koła przechodzących przez punkt P. Jaką figurę tworzą środki cięciw rozpatrywanej rodziny?

5.51.    Dane jest koło K i punkt P na zewnątrz koła K. Przez punkt ( P prowadzimy styczną do okręgu koła K w punkcie A i sieczną przecinającą okrąg tego koła w punktach 6 i C.

Udowodnić, że

\AP\² = \BP\-\CP\.

(Jest to tzw. twierdzenie o stycznej i siecznej).

5.52.    Proste zawierające cięciwy AB i CD okręgu o (O, r) przecinają się w punkcie M nie należącym do okręgu. Wykazać, że

\AM\-\MB\ = \MC\-\MD\

(jest to tzw. twierdzenie o siecznych).

5.53.    Dwa okręgi o promieniach r i R (r < R) są styczne w punkcie B. Prosta, do której należy punkt B, przecina okrąg o mniejszym ; promieniu w punkcie A, zaś okrąg o większym promieniu I w punkcie C.

Wiedząc, że \AC\ = o, obliczyć długość odcinka BC.

5.54.    Dwa koła styczne zewnętrznie mają wspólne styczne przecinające się pod kątem o mierze a.

Dowieść, że stosunek pól tych kół zależy tylko od a oraz obliczyć ten stosunek w zależności od a.

5.55.    Wykazać, że:

a)    kwadrat długości boku równoległoboku jest nie większy niż połowa sumy kwadratów długości przekątnych tego równoległoboku,

b)    kwadrat długości krawędzi równolegtościanu jest nie większy

niż j sumy kwadratów długości przekątnych dwóch ścian równoległościanu, których wspólnym bokiem jest rozpatrywana krawędź.

5.56.    Pola ścian bocznych BCD, CD A, DAB, ABC czworościanu ABCD są odpowiednio równe S,, S₂, S₃, S₄. Wykazać, że:

S| = S? + S? + Sl — 2S,S₂cosy - 2S_lS₃cosfi - 2S₂S₃cosa,

gdzie a, /i, y są miarami kątów dwuściennych o krawędziach AD, BD i DC.

5.57.    W czworościanie ABCD kąty dwuścienne o krawędziach AB i CD są kątami prostymi. Wykazać, że suma kwadratów pól ścian BCD i ABC jest równa sumie kwadratów pól ścian ABD i ABC.

5.58.    W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa jest przystający do kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Znaleźć miarę tego kąta oraz miarę kąta dwuściennego między płaszczyzną ściany bocznej i płaszczyzną podstawy ostrosłupa.

5.59.    Obliczyć objętość ostrosłupa o podstawie trójkątnej, którego ściany mają pola S,S_t, S₂, S₃, a kąty dwuścienne, utworzone przez ścianę o polu S z każdą z pozostałych ścian są przystające.

5.60.    Wykazać, że jeśli r jest promieniem kuli wpisanej w ostrosłup ABCD o podstawie trójkąta, zaś h₃, h₂, h_}, h_t są wysokościami opuszczonymi na ściany ABC, ABD, ACD i BCD, to

r < jg (hi + h₂ + h₃ + K)-Kiedy zachodzi równość?

39