DSCN1075 (2)

1.7. Wykazać, że:

1) af, § —dla dowolnych a, beR

2) fl² + 4 > 2, dla a efl\{0} I a²

1.8.    Wykazać, że jeśli a, b są liczbami dodatnimi, to:

l)a + i>2VS, 2) a + ->2.

1.9.    Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b spełniona jest nierówność

(fb?^,>at^,'b^a.

1.10. Wykazać, że jeśli a, b są liczbami większymi od 1, zaś a, p są liczbami dodatnimi takimi, że a > /i, to wówczas prawdziwa jest implikacja

a* >b*=> a >b.

1.11. Wykazać, że jeśli a_t, a₂,... a„ są liczbami rzeczywistymi nieujem-nymi, n jest liczbą naturalną nie mniejszą niż 2, to

- (<*i + fl₂ + - +    ■ a₂... a_H

Tl

(jest to tzw. nierówność Cauchy’ego).

1.12.

Wykazać, że dla każdych a,b,ce R₊ takich, żea + b + c= l prawdziwe są nierówności:

1) (1 — a)(l — h)(l — c) ^ 8ahc, 2)- + \ + ->9.

1.13. Wykazać, że dla każdego a,b,c,deR prawdziwe są nierówności:

1)    (a -b)(b — ć) + (b — c) (c — a) + (c — a) (a — b) ^0,

2)    abcd {a + b + c + d)² — {ab — cd) {ac — bd) {ad — be) ^ 0.

1.14 De jest liczb naturalnych mniejszych od 1000000 i podzielnych przez 6, które można zapisać za pomocą cyfr 0,1, 2?

1.15.    Ile jest różnych liczb naturalnych mniejszych od liczby 2* 10®, podzielnych przez 3, które można zapisać za pomocą cyfr 0, l, 2?

1.16.    Ile jest różnych liczb n-cyfrowych, które są zapisane za pomocą dwóch różnych cyfr?

1.17. Ile jest różnych n-cyfrowych wielokrotności liczby 4, które można zapisać za pomocą dwóch różnych cyfi?

1.18. Wykazać, że jeśli a e N+ i reszta z dzielenia a przez 5 jest różna od 0 to liczba

b = a® + 3a⁴ - 4 jest wielokrotnością 100.

1.19. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej n > 1 liczba a — n¹² — n® — n⁴ + 1 jest podzielna przez 512.

1.20. Mając liczbę naturalną n₀ znaleźć najmniejszą taką liczbę naturalną n, że

-    reszta z dzielenia n przez 2 jest równa 1,

-    reszta z dzielenia n przez 3 jest równa 2,

-    reszta z dzielenia n przez 4 jest równa 3, - reszta z dzielenia n przez n₀ jest równa n_Q — 1.

Rozwiązać zadanie, gdy:

a) n₀ = 5, b) n₀ = 6, c) n₀ = 10.

1.21. Wykazać, że jeśli p i n są liczbami naturalnymi dodatnimi, to

n

wśród wyrazów ciągu 1,2,3,..., n jest

wielokrotności liczby p.

(Symbol [a] oznacza część całkowitą liczby a).

1.22. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n > 2 liczby: a = 2ⁿ+l, b = 2" - 1 nie mogą być jednocześnie liczbami pierwszymi.

1.23. Wykazać, że jeśli liczba naturalna n jest sumą kwadratów dwóch

7