6093

2

Zadanie 31. Wykazać, że jeśli dla każdego t € T mamy Rt C X² i S C X², to

Mn*)=n<s°*>-

t€T    t€T

Relacja równoważności

Zadanie 32. Niech R będzie relacją równoważności w zbiorze X. Proszę ocenić wartość logiczną zdania

Va,6 6 X : (([a] C [6] A [a] ^ [6]) => [a] = [6]).

Zadanie 33. Niech dana będzie relacja równoważności R C R² zdefiniowana następująco:

/? := ([-1.0) x [-1,0)) U ((0,1] x (0.1]) U {(x,!/) € R² : x = »}.

Proszę opisać klasy abstrakcji elementów j6R.

Zadanie 34. W R zadajemy następujące relacje równoważności R\. R₂, R.i-Ri = {(x,y) €R² : x² = j/²},

Ri = {(ar, y) € R² : (x > 0 A y > 0) V x = y}.

Ra = {(*> y) € R² : xy > 0 A x = y = 0}.

Proszę zinterpretować te relacje na płaszczyźnie, a następnie wypełnić poniższą tabelę (wpisując znak oo w odpowiednią rubrykę w przypadku, gdy elementów o które pytamy lub gdy klas abstrakcji względem danej relacji jest nieskończenie wiele).

relacja	ilość klas abstrakcji	maks. ilość el. w klasie abstr.	min. ilość el. w klasie abstr.
R\
R2
Ra

Zadanie 35. Czy suma mnogościowa dwóch relacji równoważności musi być relacją równoważności? A co można powiedzieć o ich iloczynie?

Zadanie 36. Opisać klasy równoważności relacji = (mod m) danej jak następuje: a = 6(mod m) 4=> m|(6 — a), gdzie m € N oraz a,b £ Z.

Zadanie 37. Niech dane będą relacje równoważności Ri C X², /?> C X\. Zdefiniujmy nową relację równoważności R C (Xj x X₂)² za pomocą przepisu:

V(xi,ar₂),(2/1,i/2) € X\ x X₂ : (xux₂)R{yuyi) ((*iflit/i) A (x₂R^ya)). Proszę wykazać, że € X_x Vx₂ € X₂ : [(arj,a:₂)]« =    ^x foW

Zadanie 38. W N wprowadzamy relację /?: nRm <=> 3p, q € N : (n|m^p A m|n^ł). Czy relacja /? jest relacją równoważności?