357502982

17

1.3. ILOCZYN PROSTY I PÓŁPROSTY GRUP

dla każdego g € G. Wynika stąd, że automorfizm wewnętrzny i_g grupy G, zacieśniony do podgrupy A, jest automorfizmem (ale już niekoniecznie wewnętrznym) grupy A. Nasuwa się pytanie, czy dla każdej grupy A istnieje grupa G zawierająca A jako podgrupę normalną i taka, że każdy automorfizm grupy A jest zacieśnieniem do A pewnego automorfizmu wewnętrznego grupy G.

Przykład 1.3.2. Rozważymy najpierw przypadek, gdy grupa A jest czynnikiem prostym grupy G. Oznacza to, że obok podgrupy normalnej A mamy drugą podgrupę normalną B w grupie G oraz

G = A - B = {a-b: a e A, b e B}, AC\B = 1.

Wtedy, jak już wiemy, każdy element a € A jest przemienny z każdym elementem b € B, to znaczy ab = ba, dla każdych a G A, b € B. Wobec tego jeśli g = ab £ G jest dowolnym elementem grupy G, to dla każdego x € A mamy

i_g(x) = i_ab(x) = abxb ^la ¹ = axa~

gdyż x € A jest przemienny z elementem b € B. Wynika stąd jednak, że i_g działa na podgrupie A dokładnie tak samo jak automorfizm wewnętrzny grupy A wyznaczony przez a £ A. Jeśli grupa A ma automorfizm zewnętrzny, to nie jest on zacieśnieniem do A automorfizmu wewnętrznego grupy G. Stwierdzamy więc, że gdy A jest czynnikiem prostym grupy G, to grupa G nie rozwiązuje naszego problemu.

Rozważymy teraz iloczyn półprosty A Xfc B dowolnych grup A i B. Łatwo można stwierdzić, że odwzorowania

a >—* (a, 1) oraz b ► (1, b)

są monomorfizmami grup A i B w grupę A X/j B. W tej sytuacji utożsamimy element a grupy A z jego obrazem (a, 1), oraz element b grupy B z jego obrazem (1,6) w grupie A x_/( B. W ten sposób każdy element (a, 6) iloczynu półprostego A x ^ B można przedstawić w postaci

(a,b) = (a,l)-(l,b) = a-b.

Reguła mnożenia w grupie A X/, B zapisze się teraz następująco:

ab • a\bi = (a, 6) • (oi, 6i) = (a • 6(ó)(ai), 66j) = a • h(b)(ai) ■ bb\.

Skracając lewostronnie o oraz prawostronnie oraz mnożąc prawostronnie przez 6^_1 otrzymujemy zatem następującą równość

6ai6^-1 = h(b)(ai)

dla wszystkich ai € A, b 6 B. Stąd wynika, że A jest podgrupą normalną w A X/, B. Ponadto, automorfizm h(b) grupy A jest zacieśnieniem automorfizmu wewnętrznego ib grupy A X/_t B do podgrupy A. Pozostaje teraz wybrać odpowiednio grupę B i homomorfizm h : B —> Aut A tak, by h(b) przebiegał wszystkie automorfizmy grupy A. Istnieje prosty i uniwersalny sposób spełnienia tych postulatów: wystarczy wziąć B = Aut A zaś w charakterze homomorfizmu h wziąć homomorfizm tożsamościowy id : Aut A —» Aut A. Otrzymany w ten sposób iloczyn półprosty A Xj_d Aut A nazywamy holomorfem grupy A i oznaczamy

Hol(A) := A x_id Aut A

Udowodniliśmy więc następujące twierdzenie, które rozwiązuje postawiony wcześniej problem.

Twierdzenie 1.3.4. Dla każdej grupy A istnieje grupa Hol (A) zawierająca A jako podgrupę normalną i mająca następującą własność. Każdy automorfizm grupy A jest zacieśnieniem do A pewnego automorfizmu wewnętrznego grupy Hol (A).

Jako przykład rozważmy grupę cykliczną A = Z_n. Jej grupa automorfizmów jest izomorficzna z multyplikatywną grupą Z* reszt pierwszych względem n. Zatem

Hol(Z_n) = Z„ x Z; SS Af(l,Z_n),