DSCN1113

Inaczej mówiąc dla każdego k € JV+

_tt_ , a²    a (a + 1) _łt_ a² * a (a + 1) ^

albo k < — <--- albo — <---< k.

_    . _ a(a + 1) a² .

Oznacza to, ze 0 < — --— < 1,

czyli ae(0; 2). Z przedziału tego należy wyeliminować te a, dla których ^ lub - —są równe liczbie naturalnej.

a, ||'_;f ^„(dL^Ż_!2).

2.37.    O d p. Dziedziną funkcji jest D_f = (— co-) u (1; oo), zaś zbiorem wartości Y= {R ₊ u{0})\{V^}.

2.38.    Wskazówka. Rozpatrzyć przypadki: ae(0 ; 1); a = 1, ae(l ; oo).

2.39.    Wskazówka. Obliczyć /(l) i zauważyć, że funkcja / jest malejąca.

2.40.    Wskazówka. Przy założeniu, że |x| > 4 mamy:

1

logi (x² - 16) 7

rfiffi*)) = logi (x² — 16) + i 0(5)= -Z

Przyjmując logi (x² — 16) = p, nierówność

f(g(x)) < g(5) ma postać

P + -Ś -2,

P

stąd otrzymujemy

(p + l)²

-< 0 czyli p < 0.

Dalsze obliczenia pozostawiamy Czytelnikowi. O d p. |x| > y/lj.

2.41. Wskazówka. Korzystając ze wzoru a^Ą + b^A = (a^{1 2} + b²)² - 2(ab)², otrzymujemy

,!_1 ( .²iŁV,

2 11 + tg²x/

(1 + tg²x²)² - 2tg²x

= 1 — —sin²2x.

(1 -f tg²x)² 1

Wystarczy teraz zauważyć, że / osiąga wartość najmniejszą

wtedy, gdy sin²2x = 1, czyli dla x = ±-ti.

4

Stąd też wynika, że inf f{x) =

2.42. Wskazówka. Zauważmy, że jeśli (f((x_l.y_l)) = a </((*₂. 3^2)) = b v a ^ b, to

1    1

a < x_x, a ^ y. 4--,a < —,

*1    3*1

b ^ x₂, b ^ y₂ --, b ^ —,

*2    3>2

więc _f a < x₂

1

« < 3^2 +

■*2

a < —

3>2

Przyjmując /(x₀, y₀) = m, mamy:

1    1

m ^ x₀ 1    --1 m <—, *

^xo    3'o

a stąd

11.1 , . 12 —    1 — $5y₀, skąd y₀ + —

m x_Q m    x₀    m

83

1

   2

2

Z drugiej strony y₀ + — ^ /w, a zatem m < —, czyli m² ^ 2, x₀    m

więc największą liczbą m spełniającą powyższą nierówność jest liczba m = V*-