357502980

15

1.3. ILOCZYN PROSTY I PÓŁPROSTY GRUP

skąd K < G. W obydwu przypadkach skorzystaliśmy z przemienności elementów podgrup H i K. (c) => (a) Jeśli G jest iloczynem prostym podgrup H i K, to

ip : H x K —> G, (h,k) i-» hk

jest dobrze określoną bijekcją. Pozostaje pokazać, że zachowuje działanie grupowe:

ki)(h.2,k2)) = <p(hih,2,kik2) = hih^kikz = h%ki ■ /12/C2 = ⁽p(hi,ki)tp(h2,k2),

gdzie wykorzystaliśmy fakt przemienności elementów podgrup normalnych H i K.    □

Z twierdzenia tego wynika, że można identyfikować iloczyn prosty podgrup H i K grupy G z iloczynem kartezjańskim H x K.

Również iloczyn kartezjański dwóch dowolnych grup H i K można zawsze przedstawić jako iloczyn prosty podgrup normalnych H' := H x 1 oraz K' := 1 x K. W związku z tym, przy odpowiednich utożsamieniach elementów, można używać zamiennie pojęć iloczynu prostego i iloczynu kartezjań-skiego grup.

Konstrukcja iloczynu kartezjańskiego grup przenosi się natychmiast na skończone iloczyny kar-tezjańskie Gi x • • • x G_n, gdzie G, są dowolnymi grupami. Ogólniej, dla dowolnej rodziny grup {Gi : i 6 /} rozpatrujemy iloczyn kartezjański

zbiorów Gi i określamy na nim działanie następująco:

(9i)iei ■ (fi)iei = (9ifi)iei•

Z łatwością sprawdzamy, że system (P, • , (1 t)jg/) jest grupą. Nazywamy ją iloczynem lub produktem kartezjańskim rodziny grup {Gi : i € /}.

W szczególnym przypadku gdy Gi = G dla każdego i € I, grupę P nazywamy potęgą kartezjańską grupy G i oznaczamy G¹.

Gdy zbiór / jest skończony, |/| = n, to zamiast G^/ piszemy oczywiście Gⁿ.

W produkcie P = f{{Gj ■ i € 1} wyróżnijmy podzbiór S złożony z wszystkich elementów (gi)ięi takich, że gi = 1 dla prawie wszystkich i € I (dla wszystkich z wyjątkiem skończonej liczby elementów zbioru I). Jest rzeczą oczywistą, że podzbiór S produktu P jest zamknięty ze względu na mnożenie oraz odwracanie elementów, jest zatem podgrupą produktu P.

Tak skonstruowaną grupę S nazywa się zewnętrzną sumą prostą rodziny grup {Gi : i G /}, lub koproduktem tej rodziny grup i oznacza się ją

S = H{Gi :>€/}.

W przypadku gdy Gi = G dla każdego i € I, sumę prostą S oznaczamy G^\ Oczywiście, gdy zbiór I jest skończony (i tylko wtedy) mamy G¹ = G^.

Iloczyn półprosty

Zauważmy, że jeśli G = AB jest iloczynem półprostym podgrup A i B grupy G, gdzie A < G, to na iloczynie kartezjańskim Ax B zbiorów A i B można określić działanie mnożenia następująco:

(a, b) ■ (ai, 61) = (a • baib^-1, bbi).

Łatwe sprawdzenie pokazuje, że z tak określonym działaniem zbiór A x B staje się grupą izomorficzną z iloczynem półprostym G = AB. Co więcej, założenie, że G = AB jest iloczynem półprostym jest wykorzystane tylko dla zapewnienia, że ib(a\) € A, co gwarantuje, iż iloczyn dwóch par z AxB jest znowu elementem tego zbioru. Wykorzystamy te obserwacje dla wprowadzenia ogólnego pojęcia iloczynu pólprostego grup.

Niech więc A i B będą dowolnymi grupami i niech dany będzie homomorfizm