21307

ZADANIA

-    1 V"

Zad. 1. Wykazać, że średnia arytmetyczna z próby X = — > X, jest:

ⁿ

a)    estymatorem nieobciążonym i zgodnym parametru .

b)    jeżeli X podlega rozkładowi normalnemu to X jest estymatorem najefektywniejszym parametru .

j n ^    ^

Zad.2 Wykazać, że wariancja z próby S‘ = — V* I X_t - X I jest estymatorem asymptotycznie nieobciążonym i zgodnym

nS~

parametru cr . jeżeli cecha w populacji ma rozkład normalny, (skorzystać z faktu, że: —— ~    ,)

(T

Zaproponować estymator nieobciążony i zgodny parametru cr .

Zad.3 Wiadomo, że jeżeli populacja ma rozkład normalny i wylosowano próbę o liczebności n to mediana z próby Me ma rozkład asymptotycznie normalny N| /z; —^= ^— I Zbadać własności Me z próby jako estymatora parametru M.

Zad.4 X ~ B(n, p). Wykazać, że częstość z próby p = — jest estymatorem nieobciążonym. zgodnym i

n

najefektywniejszym wskaźnika smiktury p.

*1	1	3	6	26
f,	8	40	10	2

Zad.5 Z populacji generalnej została pobrana następująca próba o liczebności 60

Znaleźć nie obciążoną ocenę średniej w populacji.

Zad.6 Na podstawie próby o liczebności 51 znaleziono obciążone oszacowanie wariancji, które wynosi 5. Znaleźć nieobciążone oszacowanie wariancji.

Zad.7 Populacja ma rozkład wykładniczy określony następująca funkcją gęstości:

Losujemy n-elementową próbę prostą i jako estymator parametru A przyjmujemy odwrotność z średniej z próby 1/X

a)    Czy jest to estymator nieobciążony parametru A?

b)    Zbadać zgodność i efektywność tego estymatora.

Z ad.8 Sprawdzić, czy średnia arytmetyczna, utworzona na podstawie próby prostej wylosowanej z rozkładu Poissona o parametrze A jest estymatorem zgodnym i najefektywniejszym wartości przeciętnej w tym rozkładzie.

Zad.9 Na podstawie czterech niezależnych obserwacji X_u X* X* X_Ą pochodzących z rozkładu Poissona o wartości przeciętnej m.. wyznaczono cztery estymatory parametm m. mianowicie:    Qi=Xi. Qj=(Xi+X.i)/2, Qj=(Xi⁺Xj+Xj+Xi)/4 i

Q4=(2X,+3X₂+Xi+4X«)/10.

a)    Sprawdzić nieobciążoność tych estymatorów.

b)    Który z tych estymatorów cechuje najmniejszy względny średni błąd szacunku?

Zad. 10 W celu oszacowania wartości przecięmej czasu bezawaryjnej pracy maszyny z partii tych maszyn wybrano losowo 7 maszyn i mierzono czas ich pracy do pierwszej awarii Uszkodzenia wystąpiły w chwilach: 51. 115, 150, 190, 217, 228, 350. Wiedząc, że czas bezawaryjnej pracy maszyny ma rozkład wykładniczy E(A) znaleźć ocenę wartości przeciętnej czasu bezawaryjnej pracy oraz oszacować parametr A.

Zad.11 W celu wyznaczenia dokładności przyrządu pomiarowego dokonano 7 niezależnych pomiarów pewnej stałej wielkości uzyskując rezultaty: 171, 175, 182, 178, 173, 180, 179. Wyznaczyć ocenę wariancji błędów tego przyrządu, jeśli

(a)    wartość mierzonej wielkości jest znana i równa 176,

(b)    wartość mierzonej wielkości nie jest znana.

Zad. 12 Z partii kondensatorów wybrano losowo 12 sztuk i zmierzało ich pojemności otrzymując (w pF): 4,45 4,40 4,42 4,38 4,44 4,36 4,40 4,39 4,45 4,35 4,40 4,35.

(a)    Znajdź oszacowaiue nieznanej wartości przeciętnej pojemności kondensatora pochodzącego z danej partii

(b)    Znajdź nieobciążone oszacowanie wariancji pojemności tych kondensatorów.

c)    Znaleźć ocenę frakcji kondensatorów, które nie spełniają wymagali teduiicznych. przyjmując, że kondensator nie spełnia tych wymagali, gdy jego pojemność jest mniejsza od 4,39.