Matematyka 2 @3

402 VI riemctuy staty styki nmtamatytzjiej

Pr-siwu lego. że średnia arytmetyczna X_2J odchyli się (eo do modułu) od swej wartości oczekiwanej o mniej niż I okazało się tym razem bardzo duże Jest to spowodowane małą wartością odchyleniu standardowego

L)X_;? = 0.4 i tym samym małym rozrzutem wartości 7.1 X₇, względem jej wartości oczekiwanej F.X,,=3.    ■

jej wartości oczekiwanej EX_:5=3.

Omówimy obecnie dwa rozkłady pr-stwa związane z rozkładem normalnym. Mają one podstawowe znaczenie w statystyce matematycznej.

Zmienna o rozkładzie chi-kwadrat Mówimy,

że ZLC X ma rozkład chi-kwadrat z v stopniami swobody, v= 1.2.....

jeśli jej GP y_v jest postaci

(1.3)

gdzie Q_s jest stałą zalezną tylko od liczby stopni swobody v i tak dobrana. aby spełniony był warunek unormowania.

Obliczą się. że dla ZL X o tym rozkładzie wartość oczekiwana tX i Var X wyrażają się wzorami;

(1.4)

HX=v. VarX = 2v.

Krzywe gęstości dla liczby stopni swobody v=l, v = 4. v=IO są podane na rysunku 1.1.

yjvM

01

0 S 10    15    20

0.2

Rys I -2

Rys l.l

Istnieją tablice (Tablica III na końcu książki) kwantyli ZL X o rozkładzie chi-kwadrat, tj liczb x^ spełniających warunek (por. rys. 1.2):

Jy_v(x)dx=p.

PRZYKŁAD 1.2. 7.L X mu rozkład chi-kwadrat z 7. stopniami swobody. Wyznaczymy liczbą x spełniającą warunek X < x) - 0,09.

Szukani) liczbą jest kwantyl x=\, ₀ ^. 7 tablicy 111 odczytujemy

x^||,y)=l8,48.    B

Związek rozkładu chi-kwadrat z rozkładem normalnym jest treścią nasiąpującego twierdzenia.

TWIERDZENIE 1.4. Jeżeli X,.X_;.....X_v są niezależnymi ZL o

tym samym standaryzowanym rozkładzie normalnym N(0,1), to ZL

def

(1.5)    X = X-;+X;+~-+X;

ma rozkład chi-kwadrat z v stopniami swobody.

7 twierdzenia tego wynika również sens probabilistyczny liczby stopni swobody: liczba stopni swobody v jest liczbą niezależnych składników w sumie (1.5).

Zastosowanie ZL o rozkładzie chi-kwadrat poznamy w ostatnim paragrafie tegu rozdziału.

ZMIENNA o ROZKŁADZIE STUDENTA Mówimy, że ZL L ma rozklud Studenta z k stopniami swobody, k = l,2,..., gdy jej GP jest postaci:

(1.6)    g_k(x) = C_k(l+pV)    -co<x<«.,

gdzie C_k jest stałą zależną tylko od liczby k stopni swobody i lak dobraną, aby spełniony był warunek unormowania.

Krzywa gęstości (1.6) jest symetryczna wzglądem osi Oy (por. rys 1.3) i zależy od liczby stopni swobody; ze wzrostem k szybko upodabnia się do krzyw ej normalnej N(0,l). prawdziwe jest bow iem

TWIERDZENIE 1.5. GP g_k rozkładu Studenta, gdy liczba stopni swobody k-»«■,. szybko dąży do GP standaryzowanego rozkładu normalnego N(0; I).