Matematyka 2 @7

406 VI Elementy .\tui\ sn ki malcmuiyrzncj

Prawo to orzeka, że pr-slwo odchylenia (co do modułu) średniej arytmetycznej X„ ZL X,,X₂.....X_n od ich wspólnej wartości oczekiwa

nej p = EX, o mniej niż dowolnie wzięto liczba e>0, jest dowolnie bliskie jedności, gdy weźmie się dostatecznie dużą liczbę n ZL

X„X>.....x„.

Jeśli zatem nic jest znana wspólna wartość oczekiwana

p = EX, i dysponujemy wartościami x,.x_:.....x_(l odpowiednio ZL

X,.X_:.....X„. to przy dużym n możemy przyjąć oszacowanie x,

gdzie x jest wartością ZL X„, czyli

x = -i(x, +X2+~.+X_n)

Bezpośrednio z twierdzenia 2.1 - jeśli uwzględnić własność

(5,3) z rozdziału V - wynika historycznie najstarsze

TWIERDZENIE 2.2 (słabe prawo wielkich liczb Bcmoulliego).

Jeżeli S,,S₂.....S...... są 7.1. odpowiednio o rozkładach dwumianowych

b( l.p), b(2_tp),... .b(n.p),.... gdzie 0<p<l, to przy dowolnym r.>()

(2.2)    P(|5i-pj<r.)->l. gdy n-»«.

Zmienną losową X_n = S„/n nazywa się częstością zdarzeniu A w serii n doświadczeń Bcmoulliego. Zatem pr-stwo tego. że - częstość S„/n zdarzenia A w serii n doświadczeń Bcmoulliego różni się (co do modułu) od pr-slwa p=P(A) zajścia zdarzenia A w pojedynczym doświadczeniu dowolnie mało - jest dowolnie bliskie jedności, gdy n jest dostatecznie duże. Stąd wynika dalej, że: gdy n jest duże, p nie jest znane, to zaobserwowaną wartość s_n/n częstości względnej S_n/n możemy przyjąć za oszacowanie nieznanego pr-stwa p-P(A) sukcesu A w pojedyn-cz>m doświadczeniu: p * s_lt/n

MOCNE prawa wielkich i.iczb

TWIERDZENIE 2.3 (mocne prawo wielkich liczb Kolmogoro-

wa), Jeżeli X_;.X ......X_nf...je$t ciągiem niezależnych ZL o jednakowym

rozkładzie pr-stwa i skończonej wartości oczekiwanej EX =p. to

(2.3)    P(limX„=p)=l.

Równość ta orzeka. że z pr-stwem I ciąg średnich arytmetycznych (X_n) 7.1. X,,X₂.....X_n jest zbieżny do wspólnej wartości oczekiwa

nej p = E(X,)= E(X„). Istnieje zatem zdarzenie A takie, że l*(A)= I oraz dla każdego zdarzenia elementarnego coeA ciąg liczbowy (X„(w)) jest zbieżny (w zwykłym sensie) do wspólnej wartości oczekiwanej p

Równość (2.3) jest ponownym uzasadnieniem zasadności przyjęcia oszacowania gdy p nie jest znane.

PRZYKŁAD 2.1. Załóżmy, że ZL X,.X₂.....X_n.... su

niezależne i mają len sam rozkład geometryczny z parametrem p Wiemy, ze EX,-l/p. Rozważmy średnic arytmetyczne X_n = (X, + X_:+...+X₀)/n. Zgodnie z tezą mocnego prawa wielkich liczb Kołmogorowa, równość liniX_n = l/p spełniona jest z pr-stwem I, tzn. zdarzenie

rr-*«"

A = {w: limX„((o) = l/p} ma pr-stwo I, P(A) = I.    ■

n-»x

Bezpośrednio z twierdzenia 2.3 i własności (5.3) z rozdziału V wynika następujące

TWIERDZENIE 2.4 (mocne prawo wielkich liczb Borcla). Jeżeli

S|.S».....S_r.... są ZL odpowiednio o rozkładach dwumianowych b(l.p).

b(2,p).....b(n.p).....to przy n-*x

S

(2.4)    Ptlim-^sp)*!.

n

Równość ta orzeka, że z pr-stwem I częstość S„/n zdarzenia A w serii n doświadczeń Bcmoulliego jest przy n—>=c zbieżna do pr-stwa p = l*(A) /darzenia A w pojedynczym doświadczeniu. Zatem równość

(2.4)    jest ponownym uzasadnieniem oszacowania p«s_fl/n.

Centralne twierdzenie graniczne. Często spotyka się sytuacje, w których interesujący nas wynik doświadczenia jest rezultatem dużej liczby czynników, które d/ialają niezależnie, których działania sumują się i takich, że wielkość oddziaływania każdego z nich |est nieznaczna w porównaniu z sumą oddziaływania pozostałych czynników' Taką sytuację można zaobserwować np. w mechanizmie powstawania błędów losowych. W praktyce w takich sytuacjach zakłada się. że wynik doświadczenia jest realizacją ZL o rozkładzie normalnym.