Matematyka 2 @1

400 VI. Elementy statystyki matematycznej

ma lę samą wartość oczekiwaną co składniki X i wariancją n razy mniejszą (odchylenie standardowe Jn razy mniejsze):

(1.2) EX. = EX,=)i,    VarX₁₁ = ^^ = —,    DX = i

n n    Vn

Dowód. Korzysiając z odpowiednich własności wartości oczekiwanej i wariancji, otrzymujemy:

ES„=n(X|+X₂+-+X„)=EX,+EX,+--+nX_n ={EX, =h j=nn. VarS_n — Var(X| + X_;-i—f-X_n) = { ZL X|,X>»..,,X_I) są nie/ulcrnc } =

= VarX, + VarX₂n—fVarX„ = j VarX, = a^: j = na² ,

EX_n = E(S_n/n)= ' ES_W =~mp = p,

VnrX„ - Var(S_n/n)= VarS_(l=-Ucr =

/ n‘    n‘    n

Z ostatniego twierdzenia wynika, że średnia arytmetyczna X„ ZL

X,_fX₃.....X_n jest znacznie hardziej skupiona w okół ich wspólnej wartości

oczekiwanej p niż składniki X, (por. rys 6.3 w rozdziale V wykonany dla DX, I, n = 4). Stanowi to teoretyczne uzasadnienie powszechnego w praktyce postępowania: za wartość pomiaru określonej wielkości przyjmuje się nie wynik pojedynczego pomiaru, lecz średnią arytmetyczną kilku pomiarów tej wielkości.

Zmienna o rozkładzie normalnym (ciąg dalszy). Znany już nam rozkład normalny jest najważniejszym rozkładem pr-stwa. Trudno byłoby przecenić jego rolę zarówno w samej teorii jak również w praktycznych zastosowaniach, w tym u statystyce matematycznej. Jego fundamentalne znaczenie wynika z centralnych twierdzeń granicznych rachunku pr-stwa (przykład takiego twierdzenia poznamy w następnym paragrafie) i stąd. Ze 7.1. wykorzystywane w statystyce matematycznej często są funkcjami ZL o rozkładzie normalnym (przekonam) się o tym juz w tym paragrafie). Obecnie przytoczymy dwa dalsze twierdzenia o rozkładzie normalnym

TWIERDZENIE 1.2. Jeżeli 7.1 X,.X,.....X„ są niezależne i mają

ten sam rozkład normalny N(p.a), to ich suma S„ - X,-*-X_?+>-*-+X_n ma

rozkład normalny N(np.crVn).

Dowód faktu. że Zł. S_n ma rozkład normalny wymaga znajomości szerszego zakresu rachunku pr-siwa. Natomiast równości ES„ = np i VarS„ = ncr są prawdziwe dla dowolnego, wspólnego rozkładu składników X, (por. tw 1.1).

TWIERDZENIE 1.3. Jeżeli ZL X,,X_:,...,X„ s;| niezależne i mają len sam rozkład normalny N(p.o), to ich średnia arytmetyczna

ma rozkład normalny N(p.a/Vn).

Dowód Równości EX = p. VurX = o^:/n, czyli DX-a/Vn znamy z twierdzenia 1.1. Natomiast normalność rozkładu średniej arytmetycznej wynika z następujących przesłanek: I) S_n ma rozkład normalny, 2) funkcja liniowa Y=aX+b ZL X o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny (widzieliśmy to w dowodzie twierdzenia 6. ł z rozdziału V).    3) średnia arytmetyczna X=S„/n jest funkcją liniową

ZL S..

PRZYKŁAD l.l. Zl. X„X_:.....X₂₅ są niezależne i mają ten

sam rozkład normalny N(3.4), i X_:J oznaczaj ich sumę i średnią a-rytmetyczną. Obliczymy pr-stwa: a) P(|S_;<-75|< I), b) P(lX_:5-3i<l).

a) ES.₅ = 25-3 75. VarS₁₅ = 25 4-, DS,,=5-4 = 20. S₂₃ - N(75;20).

Zatem

P(|S»5 - 75t< I) = P(-1 <S,₅ ■- 75 < 11 = <P(    ) -d)(~) -

= 20>(0,05) -1 =0,0388=0.1)4.

Pr-stwo, że suma odchyli się co do modułu od swej wartości oczekiwanej o mniej niż 1. okazało się bardzo małe Należy to tłumaczyć dużą wartością odchylenia standardowego DS_:5=2U, a więc dużym rozrzutem wartości ZL wokół jej wartości oczekiwanej E$,< = 75.

b) rx.,=3. VarX_a=4^J/2S, DX_a=2/5=0,4. X,,~ N(3;0.4).

Zatem

P(1X_:5-3|<I)=P(-1<X_;5-3<1)=<P(_t^)-0(-^-₄)-2<1)(2^)-I= = 2 0.9038 -1 = 0.9876 = 0,99