Matematyka 2 B7

426 VI. Klfmęnty Statystyki mulamaiycznej

cechy X. s - jest zaobserwowaną wartością odchylenia standardowego S tej PLP.

Dowód Zgodnie z twierdzeniem Linderberga-l.ćvycgo ZL

L -^Sn~^_ X-m_

<W n o/Vn

dla dużych n ma w przybliżeniu rozkład normalny N(0;l) nawet wtedy, gdy nieznane odchylenie standardowe a zastąpimy jego oszacowaniem s 7 danej dużej próbki, a^s:

X-p

tiz-

Przyjmując tę ZL U„ za "statystyką wyjściową" i postępując identycznie jak w dowodzie twierdzenia 5.1. otrzymujemy przedział (5.5).

PRZYKŁAD 5.3 Nieeh X oznacza czas ([godz|) bezawaryjnej pracy wyrobu (np. całej maszyny, jej podzespołu lub pojedynczego elementu) produkowanego masowo. Interesuje nas wartość oczekiwana p=EX Dokonano obserwacji czasu bezawaryjnej pracy n=60 sztuk wyrobu i obliczono x=K45. s=42. Wyznaczymy realizacją przedziału ufności dla wartości oczekiwanej p czasu bezawaryjnej pracy wyrobu, przyjmując 1-a-0.90

Mamy lu: rozkład cechy X dowolny, liczność n próbki duża. Przedziałem ufności jest zatem przedział (5.5), a jego realizacją przedział liczbowy

(g..gj). gdzie g, = x-d, g₂=x+d, d = u -l-.

Vn

Z tablic kwanlyli rozkładu normalnego odczytujemy kwantyl ^ui-u/2^=uu.'» 1.65. Obliczamy:

d 1.65-45= = 8,9. g, - 845-8,9 = 836.1 = 836, g, =X45-*-8.9=854. V60

Zatem: szukaną realizacją 90-procentowego przedziału ufności dla nieznanej wartości przeciętnej czasu bezawaryjnej pracy produkowanego wyrobu jest przedział liczbowy (836. 854).    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

I a) Wyznaczyć długość przedziału ufności (5.2); b) ctv długość la jest ZL? c) Jak zmienia się ta długość, gdy: I) zwiększamy współczynnik ufności. 2) zwiększamy liczność próbki; d) jaki wpływ na długość przedziału ufności ma odchylenie standardowe a ?

2.    Znaleźć środek przedziałów ufności (5.2). (5.3). (5.5) Wyznaczyć wartość oczekiwaną znalezionego środka. Czy otrzymamy wynik jesl korzystny dłu tych przedziałów?

3.    Na podstawie danych z zadania 5 w paragrafie 4 zakładając, że rozkład masy odcinków przędzy jest normalny N(p.a) i przyjmując współczynnik ufności l-a=0.95. wyznaczyć realizację przedziału ufności dla przeciętnej masy p

4 Treść jak w zadaniu 3 ? tym. że odchylenie standardowe traktujemy jako znane z uprzednich, bardziej szczegółowych badań: a=O.I24.

5.    W rezultacie pomiarów twardości stali, otrzymano (w umownych jednostkach): 13.1; 12,8; 11.9; 12.4; 13.5. 13.7. 12.0; 13.8: 10.6: 12.4; 13,5; 11,7; 13.9; 11,5; 12,5; 11.9. Zakładając, źc pomiary- te są wartościami ZL X o rozkładzie Nłp.o) i przyjmując współczynnik ufności 1-a=0,90, wyznaczyć realizację przedziału ufności dla nieznanej przeciętnej twardości p cechy X.

6.    Treść jak w zadaniu 5 z tym, żc odchylenie standardowe traktujemy jako znane z uprzednich, bardziej szczegółowych badań a=0,90.

7.    Dokonano 100 pomiarów grubości przędzy i zgrupowano je w sześciu klasach o tej samej szerokości; pierwszą klasą jest przedział <8.10); ostatnią - przedział (IX.20>; liczności klas są odpowiednio równe: 5, 21. 35. 24, 8. 7 Przyjmując współczynnik ufności l-a=0,95 wyznaczyć realizację przedziału ufności dla przeciętnej grubości p przędzy.

8.    Na podstawie danych z zadania 4 w paragrafie 3. przyjmując współczynnik ufności l-a=0,95, wyznaczyć realizację przedziału ufności dla przeciętnej oporności n.

Odpowiedzi

3    (2.7K.3.04); 4. <2,M: 3.01). 5. (12.JA; 12.99); A 112.20. 12.94);

7    (13.12; I4.0K); 8 (62.6; 63,8).