Matematyka 2 @9

408 VI. Elementy stuły styki matematycznej

Teoretycznego wyjaśnienia zasadności takiego postępowania dostarczają centralne twierdzenia graniczne (CTti) rachunku pr-stwa. Tak nazywa się twierdzenia, które orzekają o zbieżności rozkładu sum zmiennych losowych do rozkładu normalnego, gdy liczba składników dąży do nieskończoności. Zacytujmy jedno z najprostszych takich twierdzeń i przypadek szczególny tego twierdzenia.

TWIERDZENIE 2.5 (CTG Lindebcrga-Levy*cgo). Jeżeli ZL

X|.X₂.....są niezależne, mają ten sam ro/kład pr-stwa, skończoną

wartość oczekiwaną p = F.X,. skończoną i różną od zera wariancję a² = VarX,, to ciąg dyslrybuunt (h_n) standaryzowanych ZL U_n

(2.5)    _{u> =} s_Ł-mi_i gd2jc s,»X₁+X_J+...+X₁₁

avn

jesl zbieżny na całej prostej do dystrybuant} <I> standaryzowanego rozkładu normalnego N(0,l):

t    I z

(2.6)    lim E„(u)=0(u). czyli lim P(U_n <u)=-= fe dt.

nn-ł'jo    v2tt ^

Z (2.6) wynika również, że

I “f • łi*

(2.7)    lira P(U| <U„ <u_v)=-p= c - dt=d>(u .)— <X>(u_;).

^ui

Dla dużych n / (2.6) i (2.7) wynikają następujące przybliżenia normalne dla standaryzowanych sum U„

ctg    cni

(2.8) P(U_M <u) * d>iu). Pi u, <U_n<u_:) = <t>(u_:)-<I>(u,)

PR Z Y K ł AD 2.2. Każdą zc 192 liczb z dużą ilością cyfr po przecinku zaokrąglamy do części całkowitej Przyjmujemy, ze błąd zaokrąglenia X, i-tej liczby. i = 1.2.....192. jest ZL o rozkładzie prostokątnym R(-0.5;0.5). Interesujący nas błąd sumy tych 192 liczb jest wówczas ZL postaci S,_g2 =Xj + X_:+...^X|₉₂. Obliczymy pr-stwo, żc błąd ten co do modułu będzie mniejszy od 10: P(|S_I0?|< 10).

Posłużymy się przybliżeniem (2.8). Korzystając zc wzorów na wartość oczekiwaną i wariancję ZL o rozkładzie prostokątnym R(a,b), otrzymujemy:

EX, = j(a + b) = 0, VarX,=-^(b-ur = -^

c _icn.n c

Zatem według (2.8) mamy:

5 <l>(25)- <t>( - 2,5) = 2<J»( 2,5)-1 = 2 0.9938 -1 = 0.9876 * 0,99 Szukane pr-stwo w przybliżeniu wynosi 0.99 Na zakończenie przypomnijmy, że zgodnie z teorią błędów, maksymalny bezwzględny błąd sumy jest równy sumie maksymalnych błędów bezwzględnych składników. W rozważanym przykładzie należałoby zatem przyjąć, że jest on równy 192*0,5=96.    •

Z ostatniego tw ierdzenia - jeśli uwzględnić równość (5.3) z rozdziału V oraz równości ES, = np, VurS„ =npq. DS„ - ^nptj - wynika

TWIERDZENIE 2.6 (Moivre'a - Laplace'a) Jeżeli (S_n) jest ciągiem 7.L o rozkładach dwumianowych b(n,p), to ciąg dystrybuant (F_n) standaryzowanych Zł U_n.

jest prz> ii->t zbieżny na całej prostej do dystrybuanty <6 standaryzowanego rozkładu normalnego N(0;l):

(2.10)    P(U_M<u) a F,(u)-mIKu), ueR

Prawdziwe są również przybliżenia postaci (2.8).

PRZYKŁAD 2.3. Pr-stwo. że klient domu handlowego poszukuje ubrania o danym rozmiarze wynosi 0,2. Znajdziemy pr-stwo tego, że wśród 1500 kupujących liczba S,₅₀₀ tych, dla który cli w łaściwy jest dany rozmiar, zawierać się będzie w przedziale (280; 330).

Wielkość S,„, test Zł. o rozkładzie dwumianowym b( 1500;0.2). Poszukiwane pr-stwo znajdujemy na podstawie twierdzenia Moivre’a -Lapłace‘a i wynikającego z niego przybliżenia postaci (2.8):

P(2X0<S_l5O(l<330)- P(