chądzyński6

2 i. WSTĘP

Zadanie 2 Pokazać, że jeśli zy, z₂ € C, to

Rozwiązanie. Wystarczy skorzystać z równości \z\² = zz.

□

Zadanie 3. Niech Zi, z₂, z₃ € C i \zy\ — \z2\ = |^31 — 1. Pokazać, że liczby zy, z₂, z₃ są wierzchołkami trójkąta równobocznego dokładnie wtedy, gdy zy + z₂ + z₃ — 0.

Rozwiązanie. Załóżmy najpierw, że Zy, z₂, z₃ są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Niech zy — cos (p+i sin ip. Wówczas, po ewentualnym przenumerowaniu wierzchołków, mamy z₂ = cos(y> 4- y¹) 4- i sin(<p + y¹), z₃ = cos(tp + ę) + isin(y? -f- ^). Stąd i z własności I.1.2(a) dostajemy

(1)    Zy + z₂ 4- z₃ =

, 2tt_x . . . 2tt_x .    47r.    . . , 4tt.

2i 4- cos{^ + —) + 2Sin(v? 4- —) 4- cos(<p +    ) +tsm(y? 4- —) —

o    ó    d    o

Prostym rachunkiem sprawdzamy, że 14-cos (^) 4-fi sin(~) + cos(~)4-i sin(^^L) = 0. Stąd i z (1) dostajemy 2ą 4 z₂ 4- z₃ — 0.

Odwrotnie, załóżmy teraz, że zy 4- z₂ 4- z₃ = 0. Stąd i z założenia mamy \zi 4- z₂\ = \z₃\ i \zy\ = \z₂\ = j^31 = 1. Ponadto z warunku równoległoboku mamy |zy — z₂\² — 2(|^!(² + \z₂1²) — |zi 4- z₂|²- Zatem \zi — z₂\ — \/3. Postępując analogicznie, dostajemy

kr ~ z₂\ - \z₂ ~ z₃1 = |z₃ -zi\~y/3,

□

czyli z_1} c_2j 23 są wierzchołkami trójkąta równobocznego. To kończy rozwiązanie.

Zadanie 4. Niech zy, z₂ £ C^x. Połóżmy arg^ 4- arg z₂ '■= {(/h + Tci £ R :    € argZi i € argz₂}, argzi - argz₂ := {<P\ — y>₂ € K :    G

arg zy i p₂ <E arg z₂} - Pokazać, że

(i)

(ii)

arg z_y + arg £2 = arg z_xz₂, arg zy - arg z₂ = arg z_x/z₂.

Wskazać liczby Zi, Z2 £ C^x, dla których

(iii)    Arg z₁ + Arg z₂ ^ Arg z₁z₂, i liczby z\, z₂ £ C*, dla któipch

(iv)    Arg Z\ - Arg 2:2 ^ Arg z_ljz₂.

Rozwiązanie, (i). Weźmy dowolną liczbę £ arg z_x + arg 2?- Wówczas istnieją liczby t/?_l7 <y>₂ takie, że p_x € arg 21, </?₂ £ arg ²2 i ^ = <£4 +W Z definicji zbiorów arg i z własności I.1.2(a) dostajemy z₁ = ^((cosę^ + żsin^i), 2₂ = jz₂|(cos(/7₂ + z'siny?₂) i 2iz₂ = ^^Ijcos^ + <p₂) + isin(ip₁ + ę?₂)]. Stąd ę? £ arg 2^2.

Odwnotnie, weźmy dowolną liczbę ip £ arg 2j .22 i liczby p₁ £ arg z₁, g>₂ ^ arg z₂. Wówczas z definicji zbiorów arg i z własności LI.2(a) dostajemy cos 92 + i sin cp = z\z₂j\z_xz₂\ — cos^ + <p₂) + zsin(ę:₁ -f </?₂). Stąd i z własności funkcji trygonometrycznych w dziedzinie rzeczywistej wynika, że istnieje liczba całkowita k taka, że ip — p_y 4- <p₂ 4- 2k.ir. Kładąc p₂ = tp₂ + 2kr, otrzymujemy p — p_x + p₂, <p_x £ arg z_x, tp₂ 6 arg z₂. Zatem (p £ arg Z\ + argz₂.

(ii). Weźmy dowolną liczbę <p £ arg z_x — arg z₂ • Wówczas istnieją liczb}' P11P2 takie, że p_x £ arg z\, p₂ £ arg z₂ i <p = cp_x — <p₂. Podobnie jak powyżej, dostajemy z_x — | zj | (cos -p « sin t^ą), z₂ — 1-2-21(cos<p₂ + «sinę?₂) i z_xjz₂ = |^i/^₂|[co6(y>₁ - y?_v) + śsin^j - y?₂)i* Stąd (/? e arg Z\j z₂.

Odwrotnie, weźmy dowolną liczbę <p £ a,rg z_xjz₂ i liczby <p_x £ arg z_x, <p₂ £ arg z₂. Podobnie jak powyżej, dostajemy cosp 4- i sin p — {z\!z₂)f\z\lz₂\ — cos(ę?₁—^ⁱ2)-|-2sin(^_l—</?₂). Stąd i z własności funkcji trygonometrycznych w dziedzinie rzeczywistej wynika, że istnieje liczba całkowała, k taka, żep = p_x — p₂ + 2kir. Kładąc p₂ — p₂ ~ 2 Aur, otrzymujemy p = p_x — p₂, p_x £ arg z_x, p₂ £ argz₂. Zatem p £ arg z-i - arg z₂.

W (iii) można przyjąć z_x — — 1, z₂ — — 1, wtedy Argzi = Arg ^2 = 7T, Arg Zi z2 = 0. W (iv) możemy przyjąć 21 = —i, z₂ — i, wtedy Arg 2-1 = ~7t/2, Arg 2₂ = 7t/2, Arg z_x/z₂ = 7r.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 5. Niech 20, 21,..., 2_n__x będą różnymi pierwiastkami stopnia n z 1. Pokazać, ze dla każdej liczby całkowitej k suma zjj 4- z_x -f

----1- 2n_i jest równa n, ydy k jest wielokrotnością liczby n, równa

zaś 0 w przeciwnym przypadku.