5910202082

15

Przestrzenie ilorazowe

1.25. Zadanie. Pokazać, że układ Schaudera nie tworzy bazy topologicznej w żadnej z przestrzeni lP{a^ b), 1 < p < oo.

Uwaga. W roku 1932 Stanisław Mazur postawił problem, czy każda ośrodkowa przestrzeń Banacha ma bazę. Za jego rozwiązanie wyznaczył nagrodę w postaci żywej gęsi. Gęś otrzymał matematyk szwedzki Per Enflo za podanie w roku 1973 kontrprzykładu a zdjęcia prasowe z tej uroczystości obiegły cały świat.

Przestrzenie ilorazowe

Niech Y będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej X. Funkcja

dist(x,y) = inf ||x — y\\, x € X, y£Y

ma następujące własności:

1.    {x€X:dist(x,y) = 0}=y,

2.    dist(x + y,Y) < dist(x, y) + dist(y, Y),

3.    dist(Ax, y) = |A| dist(x,y).

Wynika stąd, że jeżeli Y jest domkniętą podprzestrzenią X oraz [x] jest warstwą przestrzeni ilorazowej X/Y, to dla każdych xi,X2 € [x] mamy dist(xi,y) = dist(x2, y), a więc funkcjonał

II W II = dist(z, Y) = mf ||z - y\\

jest normą w przestrzeni X/Y.

1.26. Zadanie. Niech x = (xi,X2,X3,...) € £°°. Pokazać, że w przestrzeni ilorazowej e°°/c₀

II [z] II — limsup \x_n\.

1.27. Przykład. Niech Y oznacza domkniętą podprzestrzeń przestrzeni c, złożoną z ciągów stałych. Pokażemy, że przestrzeń ilorazowa c/Y jest izomorficzna z przestrzenią co.

Dla ciągu x = (xi, X2, X3,...) € c w warstwie [x] istnieje dokładnie jeden ciąg z podprzestrzeni co, mianowicie ciąg x' = (xi — xo,X2 — xo,X3 — xo,...), gdzie xo = lim_n_^ooX_n. Pozwala to utożsamić przestrzeń ilorazową c/Y z przestrzenią co- Ponieważ ||x^,|| < 2||x|| oraz x' € [x], więc

IIMII < lk'll <²1| [*] ||.

Zauważmy jeszcze, że norma w c/Y nie pokrywa się z normą w co, a w układzie powyższych nierówności każda z równości jest możliwa.