82 83 (15)

oz    Przekształcenia liniowe

O Zadanie 8.2

Uzasadnić, że podane przekształcenia przestrzeni liniowych nie są liniowe: _a; i r _» l(_x) = (ar + 1)(* - 1);

b)    L R²—* R\ L(x,y) = (3x + 2y - 1, 2x - 3y);

c) L    jR² —♦ R^Ł L jest symetrią względem prostej x + y + 2 = 0;

d) L fl'¹ —♦ R³, L jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę x — y -f z = 1; r) L -R[x) — jRf*), (£p)(*) = p(*)p'(*);

f) Z : C(R)-^C{R), (Lf)(z) = sin f{x).

O Zadanie 8.3

Napisać wżery wszystkich przekształceń liniowych L : Af_2x2—*R O Zadanie 8.4

Przekształcenie liniowe L : R³ —► R² przeprowadza wektor z = (2,1,1) na wektor u = (4,5) oraz wektor y = (1,—3.2) na wektor v = (—6, 1). Znaleźć obraz wektora z — (5,6, 1) w tym przekształceniu Czy przy tych danych można znaleźć wektor L(4, 1,5)?

O Zadanie 8.5

Znaleźć jądra i obrazy podanycłi przekształceń liniowych posługując się ich interpretacją geometryczną. Porównać uzyskane odpowiedzi z wynikami obliczeń algebraicznych:

a)    L    R¹ —►    R² jest rzutem prostokątny m na prostą / : y =    z.

b)    L    R¹ —*    R² jest jednokładnością względem punktu (0,0) w    skali k = 2;

c)    L    :    R³ —»    R³ jest symetrią względem płaszczyzny xOy;

d)    L    :    R³ —*    R³ jest rzutem prostokątnym na prostą / z =    y, z    = 0;

e)    L    R? —»    R³ jest obrotem o kąt — wokół osi Oy.

O Zadanie 8.6

Wyznaczyć jądra, obrazy oraz ich bazy podanych przekształceń liniowych:

a) L R?—>R^Zt Z/(x,y, z) = (z + y,y + z);

b)    L R³ —♦ R^ą, Hz, y, z) = (2z - y + z, z + 2y - z,-x + 3y - 2z.8x -f y -f z);

c)    L : fl₂[x] —♦ H2W. (£p)(*) - (*² + x) p(2) + (3x² - x) p(l).

O Zadanie 8.7

Podać wymiary jąder i obrazów następujących przekształceń liniowych:

a)    L : fi⁴-R³, L(x, y, z, t) = (r-i-y+z-1,2x+y-z+t, y-r3z-3i);

b)    L : fi^s—R³, L(r,y,x,s,<) = (x + y + z, y + z + $, z + s + <)i

c)    Z iZ⁴—>R\

M*,y.^.0 = (^x-2y+3z-4^3z+oz-f2<_łx+y+z-ł-3/_l5x-y-ł-9z+0-

O Zadanie* 8.8

Skonstruować przykłady przekształceń liniowych mających podane jądra i obrazy:

a)    L    R³ —* R²,    Ker i =    {(x,y,0) : x,y € R], lin L = {(r,y) x + y = 0};

b)    L    :    R³ —« jR²,    Ker L =    {(r,y,z) x + y+z = 0}, Im£ = {(z y) : x+3y = 0};

c)    £    :    R³—> R²,    Ker L =    lin {(1,1,2), (1,-1,0)}, I mZ,= {(x,y) : 2x = 3y};

d)    £    :    R^ą —* A⁴,    Kcr£ =    Im/: = {(x,y,z,i)€ Jt⁴ : 2r-z = 3y-t = 0}

e)    £ iizW — JR2[x], Ker L — lin {1 — x], Im L = lin {1 + x, 1 + z*}

O Zadanie* 8.9

Niech X, Y będą przestrzeniami liniowymi. Uzasadnić, że dla dowolnych podprze-strzeni V, V odpowiednio przestrzeni X, Y spełniających zależność dim U + dim V = dimX < 00, istnieje przekształcenie liniowe L : X —♦ Y takie, że

Kcr£ = U oraz Im Z = V.

Odpowiedzi i wskazówki

= px + qy + rz + st. gdzie p q,r,s £ R.

3.4 Hz) = (18,14); wektora 1,(4, 1.5) nie można wyznaczyć.

8.5 a) Ker £ = prosta l : y = —r, Im £ — prosta k : y = x; b) Ker £ = {(0,0)}. Im £ = R²\ c) Ker £ — {(0,0.0)}, ImL = R³: d) Ker £ = płaszczyzna* x + y = 0, Im £ = prosta l z = y, z = 0; e) Ker L = {(0,0,0)}, Im £ = R³.

8.6    a) KerL = lin {(1,-1, i)}, lin £ = R²; b) Ker£ = lin {(1,-3 -5)) Im£ = lin {(-1,2,3,1),(1,-1,—2,1)}; c) Ker L = Im (r²-3r + 2}_t Im £ = lin {x,r²}.

8.7    a) dim Ker £ = dim Im £ = 2; b) dim Ker L — 2, dim Ira £ = 3; c) dim Ker £ = dim Im £ = 2.

8.8* a) £(x, y, 2) = (2, -z); b) L{z. y, z) = (-3x - 3y - 3z, x + y + z), c) L[x. y, 2) = (3z — 3r — 3y, 2z — 2z - 2y); d) £(x, y, z_: £) = (z - 2x, t — 3y,2z - 4x,3t — 9y); e) (£p)(x) = p(x) + (z - l)p(0) + p(l).

Dziewiąty tydzień

Macierz przekształcenia liniowego (3.3).

Przykłady

• Przykład 9.1

Napisać macierze podanych przekształceń liniowych w bazach standardowych roz-