SCN
21

3. Algebra liniowa

3.1. Przestrzenie liniowe

Zadanie 3.1.1. Wykazać, że zbiór liczb zespolonych Z z działaniami dodawania oraz mnożenia przez skalar jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb wymiernych Q.

Zadanie 3.1.2. Sprawdzić, czy zbiór par liczb całkowitych C² ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania oraz mnożenia przez skalar jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych R.

Zadanie 3.1.3. Wykazać, że W_(n) - zbiór wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż n ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania oraz mnożenia przez skalar jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb wymiernych Q.

Zadanie 3.1.4. Wykazać, że C[a,b] - zbiór funkcji ciągłych w przedziale domkniętym [a,b] ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez skalar jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych R.

Zadanie 3.1.5. Sprawdzić, czy zbiór liczb niewymiernych R\Q ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania oraz mnożenia przez skalar, jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych R.

Zadanie 3.1.6. Sprawdzić, czy zbiór Q³ =

jx
\y i z	:x,y,zeQ

ze standar

dowo zdefiniowanymi działaniami dodawania oraz mnożenia przez skalar, jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb wymiernych Q.

Zadanie 3.1.7. Sprawdzić, czy zbiór [/jest podprzcstrzcnią przestrzeni liniowej R³, jeśli:

a). U = -

b) U =

c) [/ = ■

d) [/ = ■

e) U =

sR³ :x₂ - 3xj

eR³:2x, + x₂-x₃ = 0ax, +4x₂ = 0>-,

eR :3x, -x, =5

eR³:3x, -2x₂-3x₃ = 0a-4x, +x₂-x₃ =0>,

eR³ :-6x, + 2x₂ = 4>.

23